§ 1.2. Сечения

Частица, вылетающая из точки в направлении с энергией на пути может испытать рассеяние, поглощение (захват), деление или пройти этот путь без взаимодействий. Рассеиваясь, частица изменяет энергию и направление движения, при поглощении она исчезает, в процессе деления возникают несколько частиц того же типа. Вероятности этих процессов пропорциональны пути коэффициенты пропорциональности, зависящие только от энергии частицы (в неоднородной среде и от координат), называются макроскопическими сечениями этих процессов. Макроскопические сечения имеют смысл вероятностей соответствующих процессов на единице длины пути частицы, а их сумма, называемая макроскопическим сечением взаимодействия, равна вероятности любого взаимодействия на единице длины пути. Очевидно, вероятность того, что путь будет пройден без взаимодействия, равна

Обозначим вероятность того, что длина пробега частицы до первого столкновения (длина свободного пробега) превысит Тогда вероятность того, что частица пройдет без столкновений путь будет равна произведению на вероятность того, что интервал будет пройден без взаимодействий: Разлагая левую часть в ряд, приходим к дифференциальному уравнению решение которого для бесконечной однородной среды имеет вид

Пропорционально этой вероятности убывает и число частиц, прошедших путь без взаимодействий, причем коэффициент 2 определяет скорость убывания. Поэтому 2 называют еще линейным коэффициентом ослабления.

Из формулы (1.1) легко найти среднюю длину свободного пробега:

Для характеристики распределения частиц после рассеяния вводят дифференциальное по углам и энергии сечение рассеяния равное вероятности того, что частица с направлением движения и энергией на единице длины пути испытает рассеяние в единичный телесный угол около направления и приобретет энергию из единичного интервала около Очевидно,

В отличие от дифференциальное сечение деления определяется как среднее число частиц, возникающих в процессе деления на единице длины пути первичной частицы в соответствующих интервалах около и Поэтому где среднее число частиц, возникающих при одном делении.

В задачах, где поляризационными (спиновыми) эффектами можно пренебречь, угловая зависимость дифференциального сечения является функцией только угла рассеяния

Интегрируя (1.2) по получаем дифференциальное по углам сечение рассеяния

представляющее собой вероятность того, что частица на единице длины пути испытает рассеяние, в результате которого направление ее движения попадет в единичный телесный угол около , а энергия примет любое допустимое значение. Аналогично записывается и дифференциальное по энергии сечение рассеяния:

Часто бывает удобно перейти от дифференциального по энергии сечения рассеяния к дифференциальному по переданной энергии сечению рассеяния

представляющему собой вероятность того, что на единице длины пути частица испытает рассеяние, в результате которого потерянная энергия попадет в единичный интервал около Q. По известным правилам преобразования плотности вероятности получаем

Если энергия рассеянной частицы и угол рассеяния однозначно связаны друг с другом, дифференциальное по сечение имеет вид произведения -функции на одно из сечений (1.3), (1.4). Так, в случае упругого рассеяния

где косинус угла рассеяния частицы, имеющей после рассеяния энергию отношение массы атома вещества к массе взаимодействующей с ним частицы [64, с. 18].

С дифференциальными сечениями рассеяния связаны некоторые интегральные характеристики, описывающие усредненный результат рассеяния. К их числу относятся:

средний косинус угла рассеяния

Средние потери энергии на единице длины пути (тормозная способность вещества)

средняя логарифмическая потеря энергии

Величина (1.9) находит применение в нейтронных задачах, когда диференциальное по энергии сечение рассеяния имеет вид [6, с. 124]:

где все допустимые значений энергии рассеянной частицы распределены равномерно. Подставляя (1.10) в (1.9) и интегрируя по частям, получаем, что не зависит от энергии: Это означает, что если от энергии частицы перейти к новой переменной

называемой летаргией, то после каждого столкновения летаргия частицы в среднем будет возрастать на одну и ту же величину В качестве постоянной удобно выбрать максимальное значение тогда переменная и будет положительной.

Дифференциальные по летаргии сечения, соответствующие (1.6) и (1.10), имеют вид: