§ 2.5. Плоская, сферическая и цилиндрическая геометрии

Наличие симметрии свойств среды и источника может в значительной степени упростить кинетическое уравнение. Покажем это на примере стационарного интегро-дифференциального уравнения, градиентный член которого суш;ественно зависит от выбора системы координат и свойств симметрии задачи.

в декартовой системе координат, когда имеет проекции характеризуется полярным углом и азимутальным углом градиентный член имеет вид

Если сечения взаимодействия и плотность источников не зависят от координат х, у, дифференциальная плотность потока тоже не зависит от этих координат. В этом случае (плоская геометрия) и уравнение (2.25) принимает вид

Если сечения и плотность источников не зависят и от уравнение (2.48) превращается в интегральное:

В сферической системе координат вектор характеризуется длиной и двумя углами — полярным а и азимутальным Градиентный член при этом имеет более сложный вид который значительно упрощается, если система источник — поглотитель обладает сферической симметрией. В этом случае геометрия) выражение для можно вывести непосредственно, если учесть, что дифференциальная плотность потока зависит только от где угол между векторами Пусть изменение плотности потока на малом отрезке проведенном из точки вдоль Тогда Но

Из рис. 2.2 видно, что поэтому градиентный член принимает вид

в цилиндрической системе координат вектор имеет координаты

Рис. 2.2. К выводу формулы (2.50)

Если система обладает цилиндрической симметрией вдоль оси (цилиндрическая геометрия), то зависит от и разности азимутальных углов и градиентный член можно записать как

Если уравнение переноса решается в декартовых координатах, то ориентация вектора относительно координатных осей задается полярным углом и азимутом Поэтому косинус угла рассеяния, который является аргументом дифференциального сечения в интеграле столкновений, записывается в виде

и интегрирование по означает интегрирование до переменным и

Рис. 2.3. Цилиндрическая система координат

При использовании сферических координат ориентацию вектора удобно задавать относительно единичных векторов направленных по радиусу, меридиану и параллели соответственно в точке Обозначим угол

между угол между проекцией вектора на плоскость, проходящую через и вектором (рис. 2.4).

Рис. 2.4 Сферическая система координат

Проекции вектора в этой системе координат равны: Поэтому в интеграле столкновений можно записать в виде

само интегрирование необходимо вести по переменным .