Глава 2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА

§ 2.1. Кинетическое уравнение

Основная задача теории прохождения частиц через вещество (теории переноса) заключается в вычислении показаний детектора, помещенного в поле излучения, которое создается заданным источником. В соответствии с (1.29) и (1.35) для решения этой задачи необходимо знать дифференциальную плотность потока или сопряженную функцию. В этом параграфе приведен вывод кинетического уравнения, связывающего дифференциальную плотность потока с распределением источников и макроскопическими сечениями взаимодействия частиц с веществом.

Рассмотрим сначала среду без рассеяния, т. е. положим Выделим около точки малый объем в котором в момент находится частиц с энергией и направлением движения . За время число частиц в объеме вообше говоря, изменится: часть из них выйдет за пределы этого объема или, испытав там столкновение, поглотится. Но за это же время внутрь объема войдут частицы, находившиеся ранее за его пределами, а также появятся новые частицы, испущенные источником (если он имеется в объеме). Легко видеть, что для частцд с энергией и направлением движения , находящихся в объеме справедливо следующее условие баланса:

Согласно § 1.1, 1.3:

Подставив эти слагаемые в соотношение (2.1), получим

Разделим обе части этого равенства на учитывая, что

а

найдем

Выразив здесь через с помощью формулы (1.15), получим неоднородное дифференциальное уравнение в частных производных относительно Ф:

Если в среде наряду с поглощением происходит и рассеяние частиц, соотношение (2.1) несколько изменяется. Действительно, убыль числа частиц, имеющих направление движения и энергию в объеме обусловлена теперь не только выходом их из этого объема и поглощением в нем, но и рассеянием этих частиц в объеме с изменением параметров Следовательно, из правой части (2.1) следует вычесть величину

С другой стороны, наличие рассеяния приведет к увеличению числа частиц, возникающих в за счет процессов рассеяния в этом объеме с изменением параметров Соответствующее слагаемое в условии баланса, согласно (1.21), имеет вид:

С учетом этих замечаний из условия баланса получается интегро-дифференциальное кинетическое уравнение (уравнение Больцмана):

которое описывает перенос частиц в среде с учетом рассеяния [13, с. 211; 28, с. 28].

Если частицы распространяются в среде, где возможна реакция деления, в кинетическом уравнении появляется дополнительный член

соответствующий рождению вторичных частиц.

В стационарных задачах, когда не зависит от времени, уравнение (2.7) упрощается: