§ 2.8. Приближение малых углов
Рассмотрим уравнение переноса в случае, когда рассеяние частиц происходит преимущественно вперед. Примерами могут служить рассеяние
-квантов высокой энергии и рассеяние электронов. В этих случаях интегральный
Если с изменением угла
изменяется медленнее, чем сечение
функцию
под знаком интеграла можно разложить в ряд:
Подставим (2.61) в (2.60) и, записав
вычислим этот интеграл. В интеграле, который соответствует первому члену разложения (2.61), функцию
можно вынести из-под знака интеграла, и он примет вид
где 2, - полное сечение рассеяния. Интегралы, соответствующие второму и третьему слагаемым, обратятся в нуль при интегрировании проекций
по азимуту X По этой же причине обратится в нуль интеграл от последнего члена. Два оставшихся интеграла вычислить просто. Тогда получим
где
— средний квадрат угла рассеяния;
Приближение, в котором интеграл столкновений заменяют членом с производной, называют приближением Фоккера—Планка.
Легко видеть, что разложение (2.62) справедливо и для интеграла столкновений сопряженного уравнения
При переходе к приближению малых углов меняется вид градиентного члена кинетического уравнения. В декартовой системе координат, разложив
в ряд, получим
Если вектор с проекциями
обозначить
то градиентный член можно переписать в виде
Для сферически-симметричных задач из (2.50) следует, что
Для получения приближенного решения в формулах (2.65) — (2.67) иногда йренебрегают величиной 2 (или
по сравнению с единицей.