§ 4.12. Теория малых возмущений

Расчет поля излучения в неоднородной среде обычно более труден, чем в однородной. Однако, - если среда мало отличается от однородной (точнее, возмущение поля излучения, вносимое неоднородностью, мало), для. решения этой задачи можно использовать теорию возмущений. Первое приближение теории возмущений (теория малых возмущений [7, с. 215; 13, с. 496; 65; 93]) позволяет найти поле излучения в неоднородной среде по известным для однородной среды дифференциальной плотности потока и сопряженной функции.

Пусть требуется найти показания детектора, определяемые функционалом

от решения уравнений переноса для неоднородной среды

если решения соответствующих уравнений для однородной среды

известны. Запишем сечения для возмущенной среды в виде:

где — сечения для невозмущенной среды, а и возмущения сечений. Подставляя (4.158) в возмущенный оператор представим его в виде

где невозмущенный оператор переноса, а оператор возмущения:

Представим искомый функционал как сумму невозмущенного значения и возмущения

где величина связана с известными решениями невозмущенных уравнений:

Для вычисления достаточно найти Для этого подставим (4.159) в первое из уравнений (4.156) и умножим его (скалярно) на а второе из уравнений (4.157) умножим на Ф:

Согласно (4.155) и (4.162), полученные выражения равны невозмущенному и возмущенному значениям функционала соответственно. Вычитая из второго первое и учитывая свойство сопряженных операторов (4.8), приходим к формуле

которая является точным выражением разности показаний детектора в двух сравниваемых задачах; она включает в себя сведения о возмущении свойств среды, возмущенной плотности потока и невозмущенной сопряженной функции.

Если подставить в первое уравнение (4.157) и умножить его скалярно на а второе уравнение (4.156) умножить на после аналогичных преобразований получим

Наконец, используя свойство сопряженных операторов, получим еще две формы записи

Поскольку каждая из них включает в себя решение возмущенной задачи (которое неизвестно), ни одну из этих формул нельзя использовать для точного определения Допустим теперь, что возмущения плотности потока

и сопряженной функции

обусловленные возмущениями сечений, достаточно малы. Находя из (4.167), (4.168) , подставляя их в формулы и пренебрегая слагаемыми, содержащими получаем, что четыре формулы для разности функционалов переходят в две формулы теории малых возмущений:

Формулы (4.169) содержат только решения невозмущенных уравнений (4.157) и могут быть использованы для приближенного вычисления возмущения показаний детектора

Используя (4.162) и (4.169), формулу (4.161) можно переписать в виде из которого следует, что рассматриваемая неоднородность эквивалентна появлению в однородной среде дополнительного источника с функцией плотности

или дополнительного детектора с функцией чувствительности

Для краткости будем называть эти источник и детектор эквивалентными.

Выясним физический смысл эквивалентного источника. Для этого умножим его плотность

на элементарный объем имеющий вид цилиндра с основанием высотой и осью параллельной Тогда в соответствии с определением дифференциальной плотности потока (§ 1.3) величина равна изменению числа частиц, испытавших столкновение на пути в объеме Эта же величина, взятая с обратным знаком: равна изменению числа частиц, прошедших путь без столкновений. Интегральный член определяет разницу в числе частиц, рождающихся в объеме в результате столкновений. Таким образом, описывает обусловленный изменением сечения взаимодействия избыток частиц с энергией и направлением движения , вылетающих из объема Поскольку средний вклад каждой такой частицы в показания детектора равен , соответствующее изменение его показаний запишется в виде интеграла

представляющего собой развернутую запись выражения (4.169). Видно, что в первом приближении возмущения показаний детектора, обусловленные изменением сечений в различных областях среды, аддитивны. В общем случае, как показывает формула (4.164), изменение сечений в некоторой области возмущает поток во всем пространстве и, если этим возмущением не пренебрегать, закон простого сложения возмущений не имеет места.

в частных случаях формулу (4.173) можно упростить. Так, в плоско-параллельной геометрии из пространственных переменных остается только одна, и формула (4.173) имеет вид