§ 6.4. Аналоговое вычисление характеристик поля излучения по случайным траекториям

Если при моделировании случайных траекторий использовались те же вероятностные законы, которые определяют прохождение реальных частиц через вещество, то построенные траектории статистически эквивалентны реальным и по ним можно оценивать характеристики поля излучения.

Например, в процессе моделирования легко определить, какое количество энергии теряет частица в любой области пространства, число столкновений или длину пути в этой области, а также число пересечений границы области. Эти величины, конечно, случайны. Среднее арифметическое, вычисленное по траекториям, дает приближенное значение (оценку) математического ожидания соответствующей величины.

Приближенное значение локальных характеристик поля излучения также можно найти, исходя из их физического смысла. Например, отношение среднего числа столкновений или средней энергии, терлемой частицами в малой области, к объему этой области дает оценку плотности столновений или плотности переданной энергии.

Некоторые характеристики поля излучения могут иметь несколько эквивалентных определений. Так, дифференциальная плотность потока частиц выражается через плотность столкновений, через число пересечений единичной площадки и через путь частиц в единичном объеме фазового пространства (§ 1.3). Любое из этих определений можно использовать для оценки плотности потока.

В соответствии с формулой (1.19) оценку плотности потока по столкновениям можно получить, подсчитав среднее число столкновений в малом объеме фазового пространства и просуммировав вклады этих столкновений:

где число построенных траекторий; суммирование производится по всем столкновениям данного набора траекторий; фазовые координаты точек столкновений; вклад в плотность потока от одного столкновения:

Рассмотрим теперь малую площадку с центром в точке и нормалью Согласно § 1.3, приближенное значение плотности потока можно получить, подсчитав число пересечений этой площадки:

где

Формулы (6.43), (6.44) дают оценку плотности потока по пересечениям. Наконец, в соответствии с §1.3

где та часть длины отрезка которая лежит в объеме при условии, что Формула (6.45) определяет оценку плотности потока по длине пробега [88, с. 83].

Легко видеть, что формулы дают среднее значение плотности потока в области или Чтобы это значение меньше отличалось от вычисляемого значения размеры области должны быть достаточно малы. Однако при этом уменьшается вероятность попадания частицы в данную область, что увеличивает статистическую погрешность оценки

В § 1.4 было показано, что сигнал аддитивного детектора, имеющего функцию чувствительности можно записать в виде линейного функционала от

Чтобы получить алгоритм вычисления такой характеристики поля излучения, разобьем все фазовое пространство на элементарные объемы запишем формулу (6.41) для каждого из этих объемов: умножим обе части этого равенства на и просуммируем по а. Тогда, учитывая, что в пределе получаем

где

т. е. оценку показаний аддитивного детектора можно найти, усредняя по траекториям сумму отдельных столкновений. Формула (6.48) определяет значение вклада. Легко показать, что эта формула согласуется с физическим смыслом функции чувствительности. Для этого перепишем (6.46) в виде

где плотность столкновений (1.19), а средний вклад столкновения (1.30).

Расчеты, в которых моделирование траекторий ведется с использованием реальных вероятностей перехода, а характеристики радиационного поля вычисляются в соответствии с их физическим смыслом, называют аналоговыми.