§ 3.8. Элементарные решения односкоростного уравнения

Рассмотрим одно из самых простых уравнений теории переноса: односкоростное кинетическое уравнение в плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием. В области, где источники отсутствуют, оно имеет вид

В случае бесконечной однородной среды удобно перейти к безразмерной переменной

Разделив обе части (3.88) на 2 и учтя (3.89), найдем

где вероятность «выживания» частицы при столкновении.

Решение уравнения (3.90) ищем методом разделения переменных:

Подставляя (3.91) в (3.90) и разделяя переменные обычным способом, получаем

и

где постоянная разделения. Отмечая решения, полученные при определенном значении этой постоянной, индексом V и полагая (без ограничения общности)

из (3.92), (3.93) находим:

Уравнение для возможных значений можно найти, проинтегрировав второе из равенств (3.95) по и учтя (3.94):

Подробный анализ уравнения (3.96), который здесь опущен, показывает, что существуют два корня симметрично расположенные на действительной оси. Подставляя их во вторую формулу (3.95), найдем два решения уравнения (3.93):

Подставляя функции

в уравнение (3.93), можно убедиться, что эти функции также являются его решениями, если

Итак, наряду с двумя решениями (3.97) уравнение (3.93) имеет множество решений (3.98), которые различаются значениями непрерывно изменяющегося параметра

Можно показать [36, с. 88], что полученная таким образом система функций является полной системой функций, ортогональных с весом Поэтому ее можно использовать в качестве «ортов» для построения решения уравнения (3.90). Ограничимся доказательством ортогональности:

Каждая из функций удовлетворяет уравнению (3.93) с соответствующим значением С учетом (3.94) имеем

и

Умножая (3.100) на на вычитая одно уравнение из другого и интегрируя по получаем

откуда непосредственно следует (3.99). Условия ортогональности с учетом нормировки имеют вид:

где нормировочные коэффициенты.

Решения уравнения (3.90) в виде называются лежеятарябшг [36, с. 73; 64, с. 99]. Полное решение представляет собой суперпозицию элементарных решений: ауехр которую можно рассматривать как разложение дифференциальной плотности потока по системе ортогональных функций Коэффициенты разложения определяются граничными условиями; пример их вычисления будет приведен в следующем параграфе.