Глава 6. МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО

§ 6.1. Случайные числа

Как отмечалось в гл. 5, прохождение частиц через вещество является случайным процессом. Каждый элемент траектории частицы — длина свободного пробега, угол рассеяния, энергия после рассеяния и т. п. — характеризуется случайной величиной, имеющей известное распределение. Используя существующие алгоритмы получения на ЭВМ случайных чисел с произвольным распределением, можно получать случайные значения элементов траектории и тем самым — случайные реализации траекторий в веществе, эквивалентные (в статистическом смысле) траекториям реальных частиц. В силу этой эквивалентности рассматриваемый процесс можно считать моделированием случайного явления.

Совокупность траекторий, полученных в процессе моделирования, можно использовать для приближенного вычисления (оценки) необходимых характеристик поля излучения. Такой метод решения задач теории переноса называют методом статистических испытаний или методом Монте-Карло.

Простейшими по свойствам являются равномерно распределенные случайные числа плотность распределения которых на отрезке числовой оси постоянна:

Существует несколько способов получения таких чисел [21; 30, с. 38; 69, с. 222; 72, с. 3; 87, с. 10]. Один из них основан на использовании теоремы, утверждающей, что дробная часть чисел вида где любое иррациональное число, а представляет собой последовательность чисел, равномерно распределенных в интервале Так как эти числа получаются с помощью

рекуррентных соотношений и не являются случайными в строгом смысле слова, их называют псевдослучайными. Практика вычислений и специальные тесты показывают, что они так же хорошо «работают», как настоящие случайные числа. Программы для получения таких чисел есть на любой современной ЭВМ.

Для решения задач методом Монте-Карло необходимы случайные числа с более сложными распределениями. Ниже показано, что их можно получить преобразованием равномерно распределенных в интервале случайных чисел I,

Рис. 6.1. Преобразование случайных чисел методом функции распределения

Рассмотрим произвольную монотонно возрастающую функцию удовлетворяющую условиям (рис. 6.1). С помощью соответствующей программы будем получать последовательность равномерно распределенных в интервале случайных чисел и для каждого из них находить значение графике это соответствует случайному выбору точки на оси и нахождению с помощью кривой случайной точки на оси Полученные таким образом числа будут, очевидно, случайными. Найдем плотнстсть распределения этих чисел. Для этого выделим на оси малый интервал и построим на оси соответствующий ему интервал Очевидно, что

В сериях из испытаний в интервал в среднем будет попадать случайных чисел Им соответствует такое

же количество чисел у] в интервале вероятность попадания числа в интервал равна Поэтому плотность распределения случайных чисел на оси равна

Проинтегрировав левую и правую части этого равенства в интервале получим, что для нахождения случайных чисел с плотностью в качестве необходимо использовать функцию распределения

Как пример приведем алгоритм для получения случайных чисел с экспоненциальным распределением в интервале

Подставив (6.3) в (6.2), получим откуда т. е. экспоненциальное распределение будут иметь числа

Приведем также алгоритм получения случайных чисел, равномерно распределенных в интервале

Этот метод преобразования случайных чисел называют методом функции распределения. Его основной недостаток состоит в том, что далеко не всегда удается вычислить в элементарных функциях интеграл (6.2) и найти обратную функцию

Рассмотрим еще один метод преобразования равномерно распределенных случайных чисел, который называют методом отказов или методом Неймана,

Объединим случайные числа равномерно распределенной последовательности парами и будем использовать их для получения случайных чисел

где константы; Пары чисел можно рассматривать как координаты случайных точек равномерно распределенных в прямоугольнике с основанием

высотой h (рис. 6.2). Впишем в прямоугольник положительную функцию и выделим из последовательности случайных точек те гочки, которые оказались под кривой Их абсциссы образуют случайную последовательность чисел с распределением, вообще говоря, отличным от равномерного. Найдем плотность этого распределения.

Случайные точки распределены в прямоугольнике равномерно, поэтому среднее число чисел полученных в серии из испытаний, равно

где площадь прямоугольника; площадь под кривой Среднее число чисел попадаюших в интервал определяется плошадью заштрихованной области (см. рис. 6.2): Поэтому вероятность попадания числа в интервал равна а плотность вероятности

Рис. 6.2. Преобразование случайных чисел методом Неймана

Таким образом, для получения случайных чисел с плотностью в качестве функции следует использовать саму плотность или функцию, отличаюшуюся от нее на постоянный множитель.

Из рис. 6.2 видно, что число отброшенных случайных точек будет минимальным, если высоту прямоугольника выбрать равной максимальному значению функции Отношение среднего числа полученных значений к среднему числу использованных случайных точек называют эффективностью метода. Из (6.7) видно, что эффективность метода Неймана равна

Эффективность метода Неймана в ряде случаев можно повысить, комбинируя его с методом функции распределения. Из рис. 6.2 следует также, что число

отброшенных случайных точек уменьшается, если их абсциссы выбирать не из равномерного распределения, а из распределения близкого по форме к Тогда случайные точки будут чаще появляться в той части прямоугольника, где вероятность отказа меньше.

Пусть абсциссы точек получены из распределения методом функции распределения, а ординаты, как и раньше, из равномерного распределения. Абсциссы случайных точек, оказавшихся под кривой будем принимать в качестве случайных значений Найдем их плотность распределения

Из случайных точек координату х в интервале будут иметь точек. Из них точек окажутся под кривой Поэтому полное число случайных чисел в серии из испытаний

а плотность их распределения

Таким образом, если плотность распределения можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых нормирована на единицу, этот сомножитель можно использовать для выборки случайных чисел методом функции распределения, а второй сомножитель — в схеме отказов.

Эффективность такого метода получения случайных чисел равна Для увеличения эффективности алгоритма, как и в методе Неймана, следует выбирать равным максимальному значению функции

Легко видеть, что при эффективность метода становится равной единице, а сам он преврапается в -тод функции распределения. В другом предельном случае, когда (равномерное распределение), рассматриваемый метод совпадает с методом Неймана.

Ряд специальных методов моделирования неравномерных распределений рассмотрен в работах [21, с. 97; 30, с. 62; 72, с. 3; 87, с. 70].