§ 5.7. Приближение непрерывного взаимодействия с детектором
Поскольку вероятностные уравнения имеют много общего с обычными кинетическими уравнениями, ряд приближенных методов, описанных в гл. 3 и 4, можно распространить и на вероятностные уравнения. В качестве примера рассмотрим приближение непрерывного взаимодействия с детектором.
Как отмечалось выше, основным процессом взаимодействия заряженных частиц является рассеяние с малыми потерями энергии и малыми отклонениями от первоначального направления движения. Вклад в показания детектора от каждого такого столкновения мал, а количество столкновений на траектории велико. Поэтому сигнал детектора можно рассматривать как результат непрерывного взаимодействия частицы с чувствительным объемом детектора.
Вероятностное уравнение, соответствующее этому приближению, можно получить из уравнения (5.22):
Для этого функцию 
в уравнении (5.84) разложим в ряд:
Используя условие нормировки 
и определения (5.9), интегральный член уравнения (5.84) легко преобразовать к виду
Чтобы рассматриваемое приближение было справедливым, второе слагаемое в последнем выражении должно быть мало. Поэтому его можно вычислить приближенно. Считая, что изменения энергии и направления движения при рассеянии невелики, прложим 
и вынесем эту величину из-под знака интеграла. Тогда, учитывая (5.9), получаем интегральный член в виде:
Если пренебречь вкладом от поглощения, то 
где 
функция чувствительности детектора, поэтому вероятностное уравнение (5.84) в приближении непрерывного взаимодействия с детектором имеет вид
В стационарнам случае это уравнение упрощается:
При 
уравнение (5.86) однородно, а граничное значение 
можно получить, интегрируя все его члены по О в области 
и устремляя 8 к нулю. Учитывая условие нормировки 
легко получить
Из уравнения (5.86) вытекают следующие уравнения для моментов:
Отсюда легко получить рекуррентное соотношение
где 
сопряженный оператор Грина. Использовав (5.89) и теорему взаимности для функций Грина (4.26), запишем выражения для первых двух моментов:
Уравнения (5.85) — (5.88) можно использовать, например, при расчете сигнала черепковского детектора, так как излучение Вавилова-Черепкова испускается частицей на всей траектории (если энергия частицы выше пороговой) и практически не влияет на ее движение.
