§ 6.6. Неаналоговое моделирование

Выше было показано, что среднее значение показаний аддитивного детектора представляется в виде функционала от решения некоторого интегрального уравнения. В то же время его можно вычислить статистическим моделированием траекторий частиц, поэтому метод Монте-Карло можно рассматривать как численный метод решения интегральных уравнений [30, с. 258; 58; 72, с. 55; 87, с. 161; 88, с. 71]. Остановимся на этом подробнее.

Рассмотрим случайный процесс блуждания частиц в некотором фазовом пространстве, точки которого обозначим х. Пусть плотность распределения первых столкновений частицы; вероятность поглощения частицы при столкновении в точке вероятность рассеяния частицы в точке х с последующим столкновением в элементе фазового пространства. Интеграл

представляет собой вероятность того, что после столкновения в точке X частица испытает еще хотя бы одно столкновение. В случае бесконечной среды эта величина есть вероятность выживания частицы при столкновении в точке х. Легко видеть, что

Из этих определений следует, что с вероятностью первое столкновение частицы произойдет в элементе и это столкновение будет поглощением, т. е. на траектории будет только одно столкновение. Аналогично есть вероятность того, что на траектории будет два столкновения — рассеяние в элементе объема и поглощение в элементе Таким же образом находится вероятность испытать любое число столкновений

Вклад траектории в показания детектора определяется последовательностью точек столкновения:

фазовые координаты точек столкновения, в которых произошло поглощение частицы).

Будем говорить, что на множестве траекторий задан некоторый функционал, если каждой траектории (6.60) ставится в соответствие определенное число

где заданная совокупность функций. Величина является случайной, так как случайны число столкновений в траектории и фазовые координаты точек столкновения. Учитывая (6.59), (6.61), математическое ожидание функционала можно записать в виде

Каждый член суммы (6.62) содержит множитель под знаком интеграла по переменной Вынесем этот общий множитель и перепишем (6.62) следующим образом:

где

Эта величина есть, очевидно, среднее значение функционала на траекториях с фиксированным значением координаты первого столкновения. Поскольку функция предполагается известной, для вычисленя С по формуле (6.63) необходимо знать условное среднее

Сумму в формуле (6.64) можно преобразовать аналогично, вынося за скобки общий множитель и записав эту сумму в виде

где

— среднее значение функционала на траекториях с фиксированными значениями координат двух первых столкновений.

Подставив (6.65) в (6.64), получим формулу

которая выражает величину неоодимую для вычисления математического ожидания через условное среднее Аналогично величину можно выразить через Эти вычисления приводят к рекуррентному соотношению

которое вместе с формулой (6.63) позволяет записать математическое ожидание в виде бесконечного ряда, эквивалентного (6.62). Однако при определенных ограничениях, налагаемых на функции условное среднее для некоторого выражается через где [58], и рекуррентное соотношение (6.67) превращается в замкнутую систему уравнений для В этом случае вычисление сводится к решению системы уравнений и вычислению интеграла (6.63).

В качестве примера рассмотрим функционалы рекуррентного типа, для которых

где неотрицательные функции. Используя (6.68), (6.69), легко показать, что

Из формул (6.68)-(6.70) следует, что такой функционал, вычисляемый на случайных траекториях, есть сумма вкладов отдельных столкновений, каждый из которых умножается на величину

называемую статистическим весом. Эту формулу удобно переписать в виде рекуррентного соотношения

Чтобы вывести уравнение для условных моментов, перепишем (6.68), (6.69) в виде

зафиксируем значения и усредним это равенство по остальным переменным. Учитывая, что при таком усреднении величины уже не случайны, получим

Подставляя (6.73) в (6.66) и учитывая (6.57), (6.58), получаем линейное интегральное уравнение

где

Таким образом, вычисляя на случайных траекториях среднее значение функционала (6.68), (6.69), мы тем самым находим интеграл (6.63):

где решение интегрального уравнения (6.74).

Сравним формулу (6.76) с формулой (1.37) для показаний детектора. В стационарном случае она имеет вид

где плотность первых столкновений, а ценность частицы, испытавшей столкновение в точке х. Уравнение (6.74) сравним с уравнением (2.46) для ценности которое запишем в виде

Из сравнения видно, что если выполняются условия:

и

Проведенный анализ показывает, что для вычисления показаний аддитивного детектора в неразмножающей среде можно строить траектории с использованием вероятностей отличных от описывающих реальный процесс переноса. При этом вклад каждого столкновения умножается на «весовой» множитель (6.71), где согласно (6.79), (6.81), определяются соотношениями

Формулы (6.82) называют условиями несмещенности, а описанный метод — неаналоговым моделированием. Аналогичные результаты получаются и для среды с размножением [96].

Таким образом, для решения одной и той же задачи можно выбирать различные вероятности ограничиваясь лишь следующим естественным условием: будучи определены в том же фазовом пространстве, где заданы функции они не должны обращаться в нуль там, где не равны нулю заданные функции [только в этом случае выражения (6.82) имеют смысл]. Различные способы неаналогового моделирования, называемые модификациями метода Монте-Карло, дают оценки с одним и тем же математическим ожиданием, но различными дисперсиями. Одной из задач теории метода Монте-Карло является разработка определенных рекомендаций по применению этих методов к решению конкретных задач.