§ 6.3. Траектории частиц в неоднородной среде

Простейшим примером неоднородности среды в задачах переноса является граница с вакуумом. Построение случайных траекторий в таких задачах заканчивается не только при поглощении частицы, но и в том случае, если очередная длина пробега окажется больше, чем расстояние от точки, где произошло последнее столкновение, до границы (в направлении движения).

Рассмотрим произвольную неоднородную среду. При выводе формулы (6.33) для розыгрыша длины пробега использовалось выражение описывающее ослабление нерассеянного излучения на расстоянии в однородной среде. Аналогично можно получить соответствующую формулу для неоднородной среды, исходя из более общего выражения где оптическое расстояние вдоль направления движения частицы. Из этой

формулы следует, что вероятность иметь длину пробега в интервале равна

Алгоритм выборки из распределения (6.35) можно получить с помощью метода функции распределения, который приводит к следующей формуле для длины пробега I:

Если поглотитель состоит из нескольких областей, в каждой из которых он однороден, то функция кусочно-постоянна и интеграл в (6.36) превращается в сумму

Здесь — отрезки на которые границы различных областей рассекают луч, проведенный из последней точки столкновения в направлении движения частицы; соответствующие этим областям коэффициенты ослабления; число границ, которые частица пересекла на пути между двумя столкновениями (оно определяется как максимальное значение индекса для которого длина пробега частицы в области с номером где произошло взаимодействие. Таким образом, формула для розыгрыша длины пробега имеет вид

При определении длины пробега находят и номер области в которой произошло столкновение. Сечения взаимодействия в каждой области предполагаются известными, поэтому розыгрыш типа взаимодействия, направления движения и энергии частицы после столкновения проводят методами, описанными в § 6.2.

Существует еще один метод построения траекторий в неоднородной среде [71, 113]. Запишем кинетическое уравнение в виде

и в левой части проделаем следующее преобразование:

где положительная функция, удовлетворяющая условию

Величину

можно рассматривать как дифференциальное сече -рассеяния» и переписать исходное кинетическое уравнение в виде

где интегральный оператор -рассеяния, ядром которого является функция

Уравнение (6.40) описывает перенос частиц в среде с линейным коэффициентом ослабления не зависящим от координат, поэтому для розыгрыша длины пробега теперь можно использовать обычную формулу (6.24). Однако при каждом столкновении кроме обычного процесса рассеяния, описываемого оператором оказывается возможным и -рассеяние, которому соответствует оператор В уравнении (6.40) сечение запишем в виде суммы сечений реальных взаимодействий и -рассеяния: и преобразуем эту формулу к виду который определяет относительные вероятности таких процессов. Тогда последовательность вычислений при построении случайных траекторий будет следующей.

1. Разыгрываем длину пробега I в однородной среде с коэффициентом ослабления

2. Вычисляем координаты точки столкновения

3. По координатам определяем, в какой области произошло взаимодействие.

4. Вычисляем для этой области вероятность -рассеяния

5. Определяем тип взаимодействия: если то произошло -рассеяние, в противном случае — одно из обычных взаимодействий.

-Рассеяние не изменяет энергии и направления движения часгицы, а вычисления для обычных взаимодействий описаны выше.

В качестве функции удобно выбрать максимальный из коэффициентов ослабления в неоднородном поглотителе. В этом случае условие (6.39) выполняется автоматически. Использовать функции очевидно, нецелесообразно, так как это приведет к уменьшению длины пробега и увеличению числа столкновений в истории.