§ 3.6. Преобразование Фурье — Бесселя
Рассмотрим односкоростное кинетическое уравнение с плоским перпендикулярным источником:
Если рассеяние частиц происходит преимущественно вперед и дифференциальная плотность потока 
быстро убывает с ростом то решение уравнения (3.67) можно искать в приближении малых углов (§ 2.8). В этом приближении интеграл столкновений приводится к виду
а 
в градиентном члене можно заменить на единицу. Правая часть уравнения (3.67) в приближении малых углов равна 
так как 
в соответствии со свойствами 
-функции, 
Поэтому уравнение в целом можно записать в виде
Решение уравнения (3.70) будем искать в виде разложения по функциям Бесселя 
которые ортогональны в области 
с весом 
:
поэтому
Как и в § 3.3, преобразуем сначала интеграл столкновений, разложив по функциям Бесселя дифференциальное сечение рассеяния:
Изменив порядок интегрирования, запишем интеграл столкновений:
Для функции Бесселя, как и для полиномов Лежандра, существует теорема сложения, аналогичная (3.43):
Подставим (3.76) в интеграл столкновений и проинтегрируем по 
. Интеграл от 
равен нулю, поэтому
Умножая все члены уравнения переноса на 
интегрируя по О и учитывая, что 
получаем уравнение для трансформанты Фурье — Бесселя 
В области 
функцию 
можно получить, решая однородное уравнение, а чтобы найти 
проинтегрируем все члены (3.77) по 
где 
малая величина): 
Если источник направленный и рассеяние происходит только на малые углы, то в области 
Поэтому 
Переходя далее к пределу 8 О, получаем граничное значение для трансформанты 
Вычисляя интеграл с помощью (3.30), получаем 
Эта формула совпадает с (3.32), т. е. угловое распределение частиц является гауссовым.
эквивалентно однородному 
с граничным условием 
Его решение имеет вид 
поэтому интересующее нас решение уравнения переноса есть
функцию 
можно разложить в ряд и записать 
в виде
можно показать, что
описывает нерассеянные частицы, 
частицы, испытавшие однократное рассеяние, и т. д.
быстро убывающая функция, то функцию Бесселя в (3.75) можно разложить в ряд: 
тогда 
и
