§ 2.2. Сопряженное уравнение

Пусть теперь задана функция чувствительности детектора и известны макроскопические сечения взаимодействия. Уравнение, связывающее эти величины с сопряженной функцией, называют сопряженным уравнением [7, с. 198; 35; 62; 65]. Вывод сопряженного уравнения проведем сразу для среды с поглощением и рассеянием.

Рассмотрим частицы, вылетающие из точки в момент в направлении с энергией Из точки в направлении и отложим отрезок, длина которого равна каждую случайную траекторию частицы разобьем на две части: часть, лежащую на этом отрезке, и остальную часть траектории. В силу аддитивности детектора вклад каждой траектории в показания детектора равен сумме вкладов ее частей:

где вклад от отрезка а — вклад от второй части траектории.

В соответствии с определением сопряженной функции среднее значение случайной величины равно

а из определения функции чувствительности детектора (§ 1.4) следует, что среднее значение определяется формулой

Перейдя к вычислению среднего значения отметим, что с вероятностью частица испытает столкновение на отрезке и с вероятностью пройдет его без

взаимодействий. Для частиц, не испытавших столкновения, вторая часть траектории начинается в момент в точке где частица имеет энергию и направление Средний вклад каждой из этих частиц в показания детектора равен Для частиц, поглощенных при столкновениях на отрезке Если частица испытает на этом отрезке рассеяние с изменением параметров ее средний вклад в показания детектора будет равен Учитывая, что вероятность рассеяния с изменением параметров на отрезке равна находим

Поэтому, усредняя равенство (2.9) и учитывая (2.10)-(2.12), в пределе при О получаем уравнение для сопряженной функции:

В стационарном случае оно упрощается:

В отсутствие рассеяния (2.14) принимает вид

Несмотря на то что уравнения (2.13) и (2.7) сходны по своей структуре, они могут заметно различаться по степени трудности решения в конкретных задачах [39, 91, 98].