§ 5.3. Вероятностные уравнения

Обозначим вероятность того, что в момент наблюдения показания детектора принадлежат интервалу вероятность этого события при условии, что источник испустил частиц с фазовыми координатами в моменты соответственно. Умножая это условное распределение на вероятность суммируя по и интегрируя по другим переменным, получаем

Поскольку сигнал аддитивного детектора равен сумме сигналов отдельных частиц, взаимодействующих со средой независимо друг от друга: то распределение суммы случайных слагаемых дается сверткой распределений этих слагаемых

Здесь вероятность того, что частица, вылетевшая из точки в момент внесет в показания детектора вклад, принадлежащий интервалу Используя свойства -функции, формулу (5.18) можно переписать в виде

Подставив (5.19) в (5.17), получим

Уравнения для распределений можно вывести по аналогии с уравнениями Колмогорова-Чепмена (§ 2.9, 2.10).

Пусть частица с энергией вылетает из точки в направлении . Вероятность того, что за время она не испытает столкновения, равна а вероятность столкновения равна По формуле полной вероятности

где распределение по вкладам при условии, что за время А произошло столкновение, а то же, если столкновения не произошло.

Если частица не испытала столкновения, пройденный отрезок пути не внесет вклада в показания детектора и

сигнал будет обусловлен оставшейся частью траектории частицы, которая в точке в момент имеет прежнюю энергию и направление движения Поэтому

Результатом столкновения может быть поглощение или рассеяние частицы. Поэтому по формуле полной вероятности

где и — вероятности поглощения и рассеяния, а соответствующие условные распределения.

Легко видеть, что где функция, характеризующая сигналы детектора при поглощении частицы (§ 5.2). Функцию в свою очередь, можно записать в виде интеграла по всем возможным состояниям частицы после столкновения:

В случае рассеяния с изменением параметров вклад будет суммой двух случайных величин: вклада от самого акта рассеяния и вклада от оставшейся части траектории частицы, которая после рассеяния движется в направлении с энергией Поэтому

Последовательная подстановка полученных выше выражений в (5.21) приводит к уравнению для функции

Используя разложение

и пренебрегая членами второго порядка, получаем интегро-диренциальное уравнение

В неоднородной среде вероятностное уравнение (5.22) сохраняет свой вид, только сечения взаимодействия зависят от пространственных координат.

На внешней границе поглотителя значение функции можно найти из ее физического смысла:

где поверхность системы; внешняя нормаль к ней. Формула (5.23) говорит о том, что частицы, вылетающие из системы, вносят нулевой вклад в показания детектора.

Если среда и детектор являются стационарными (т. е. не зависят от времени), то

Подставляя и (5.22), приходим к формулировке стационарной задачи:

где удовлетворяет стационарному вероятностному уравнению:

К стационарному виду приводится задача и в том случае, если не изменяются во времени среда и источник:

а время измерения в течение которого постоянны, много больше характерного времени жизни частицы. Подставляя (5.27) в (5.20), приходим к формуле (5.25), где

Интегрируя (5.22) по времени и учитывая, что

находим, что функция (5.28) удовлетворяет стационарному уравнению (5.26).