§ 3.3. Угловое распределение частиц, прошедших путь l

Для нахождения углового распределения частиц обычно применяют методы, основанные на разложении этого распределения по сферическим гармоникам. В задачах с азимутальной симметрией, рассмотрением которых мы и ограничимся, «ортами» являются полиномы Лежандра удовлетворяющие уравнению

и образующие полную ортогональную систему на отрезке

Как и в § 3.2, рассмотрим задачу об угловом распределении частиц, прошедших путь пренебрегая потерями энергии при рассеянии, но не используя приближения малых углов:

где начальное направление движения частицы.

Рассматриваемая задача симметрична по азимуту, поэтому вместо в дальнейшем будем писать предполагая, что координатная ось направлена по вектору

Решение уравнения (3.36) будем искать в виде

выделив множитель описывающий поглощение.

Легко убедиться, что функция удовлетворяет уравнению

в этом уравнении сначала преобразуем интеграл столкновений

разложив в нем по полиномам Лежандра дифференциальное сечение рассеяния:

Подставляя (3.40) в интеграл столкновений и меняя порядок суммирования и интегрирования, получаем

Используя явные выражения для проекций векторов легко получить следующую теорему сложения тригонометрических функций:

Аналогичная теорема имеет место и для полиномов Лежандра [53, с. 676]:

где присоединенные полиномы Лежандра. Подставим (3.43) в интеграл столкновений и проинтегрируем по Легко видеть, что сумма по не дает вклада в этот интеграл, так как Поэтому

Здесь

— коэффициенты разложения функции по полиномам Лежандра:

Подставим теперь (3.44) в кинетическое уравнение (3.39), умножим все члены уравнения на и проинтегрируем по . Интегрирование по направлениям и дифференцирование по I можно поменять местами, это позволяет записать первый член преобразованного уравнения в виде Второй член легко преобразовать к виду интегральном члене надо поменять местами суммирование по и интегрирование по направлениям, что с учетом условия ортогональности (3.35) приводит к выражению

Таким образом, система уравнений для определения коэффициентов в разложении по полиномам Лежандра принимает вид

где

Начальные условия для функций легко получить, умножая начальное условие (3.39) на и интегрируя по направлениям. Если ось направить по вектору то

Решения уравнений (3.47) с такими начальными условиями имеют вид

Подставив эти решения в (3.46), получим

Для качественного анализа этого результата предположим, что сечение рассеяния сильно вытянуто вперед. Тогда полином Лежандра в (3.48) можно разложить в ряд:

Поэтому где - средний квадрат угла рассеяния [см. (2.63)]. В этом приближении

В тех случаях, когда угловое распределение частиц близко к изотропному, оно с хорошей точностью может быть представлено несколькими первыми членами разложения (3.51). В противоположном случае, когда анизотропия велика, основную роль в разложении играют члены с Поэтому в формуле (3.51) положим и заменим сумму по интегралом:

Функция быстро убывает с увеличением О, и наибольший интерес представляет ее вид в области малых углов. При малых поэтому

что, естественно, совпадает с (3.29), т. е. угловое распределение является гауссовым: