Глава 4. МЕТОД ФУНКЦИЙ ГРИНА И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

§ 4.1. Операторы и функционалы

Изложение многих вопросов теории переноса существенно упрощается, если использовать терминологию и обозначения функционального анализа, в частности понятия операторов и функционалов.

Оператором называют определенную совокупность действий, которые выполняются над произвольной функцией из некоторого множества 2). Это множество называют областью определения оператора. Множество функций, которые получаются в результате действия оператора на функции, принадлежащие называют значений оператора. Это - множество обозначим Таким образом, каждой функции данный оператор ставит в соответствие определенную функцию

Оператор I, не изменяющий функций на которые он действует, называют единичным или тождественным оператором:

В теории переноса обычно приходится иметь дело с линейными операторами. Оператор А называют линейным, если для любых функций и любых чисел имеет место равенство

Над операторами, как над числами и функциями, можно производить операции сложения и умножения. Суммой операторов называют такой оператор что для всех функций :

Произведением операторов и к называют такой оператор что для всех имеет место равенство

произведение одинаковых операторов А называют степенью оператора А: Однако в отличие от произведений чисел и функций произведение операторов в общем случае зависит от порядка сомножителей: Если то говорят, что операторы и коммутируют. Легко видеть, что любой оператор коммутирует сам с собой, с любой своей степенью, с тождественным оператором.

Операции сложения и умножения операторов, определенные с помощью формул (4.2) и (4.3), можно использовать для построения функций операторов. Функцией оператора называют оператор

который получается, если функцию разложить в ряд Маклорена и степени переменной заменить степенями оператора А, например:

Если в результате действий, производимых над функцией получается не новая функция, а число, то ворят, что на множестве 2) задан функционал Функционал, обладающий свойством аналогичным свойству оператора (4.1), называют линейным. В функциональном анализе показано, что при соответствующих условиях линейный функционал можно записать в виде интеграла

где некоторая фиксированная функция. Фиксируя в выражении (4.6) функцию ирассматривая значения интеграла на множестве функций получаем функционал определенный уже на множестве Приведенные выше интегралы удобно записывать в виде скалярного произведения функций (§ 3.1):

В теории переноса часто используют пары сопряженных операторов. Операторы А с областью определения и с областью определения называют сопряженными.

если для любой пары функций имеет место равенство

Перепишем определение (4.8) с учетом обозначения (4.7):

Обратимся теперь к кинетическому уравнению (2.7). Используя (4.2), представим левую часть этого уравнения

где операторы

являются, очевидно, линейными. Поэтому линейным будет и оператор

называемый нестационарным кинетическим оператором (оператором переноса). В соответствии с физическим смыслом отдельных слагаемых кинетического уравнения интегральный оператор называют оператором рассеяния, оператором переноса в среде без рассеяния, стационарным кинетическим оператором.

С учетом этих обозначений нестационарное кинетическое уравнение можно записать следующим образом

Стационарное уравнение будет иметь вид

Показания детектора, даваемые формулой (1.29), представляют собой функционал от Ф:

Используя определение (4.9), найдем операторы, сопряженные Для этого сначала рассмотрим функционал

Преобразуем внутренний интеграл интегрированием по частям, считая, что принадлежат множеству дифференцируемых по функций, а обращается в нуль при

Следовательно, Сравнив это равенство с определением (4.9), придем к выводу, что оператор, сопряженный, дифференциальному оператору отличается от него только знаком. Аналогично можно показать, что

Теперь рассмотрим функционал

Изменив порядок интегрирования по штрихованным и нештрихованным переменным в квадратных скобках, получим т.е. сопряженный оператор рассеяния отличается от оператора К порядком аргументов функции которая является ядром оператора рассеяния.

Теперь легко найти оператор, сопряженный оператору переноса:

Сравнение с (2.13) показывает, что совпадает с оператором сопряженного уравнения, и это уравнение можно записать в вйде Приведенные здесь результаты поясняют смысл введенных ранее понятий сопряженного уравнения и сопряженной функции (§ 2.2).

Формулу (1.35) для показаний детектора можно записать как а равенство переписанное в виде станет очевидным, если принять во внимание определение сопряженного оператора (4.9).

Мы не имеем возможности останавливаться здесь на более тонких математических вопросах. Строгое изложение теории переноса на основе функционального анализа читатель найдет в работах [14, 104].