Главная > Введение в теорию прохождения частиц через вещество
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Глава 4. МЕТОД ФУНКЦИЙ ГРИНА И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

§ 4.1. Операторы и функционалы

Изложение многих вопросов теории переноса существенно упрощается, если использовать терминологию и обозначения функционального анализа, в частности понятия операторов и функционалов.

Оператором называют определенную совокупность действий, которые выполняются над произвольной функцией из некоторого множества 2). Это множество называют областью определения оператора. Множество функций, которые получаются в результате действия оператора на функции, принадлежащие называют значений оператора. Это - множество обозначим Таким образом, каждой функции данный оператор ставит в соответствие определенную функцию

Оператор I, не изменяющий функций на которые он действует, называют единичным или тождественным оператором:

В теории переноса обычно приходится иметь дело с линейными операторами. Оператор А называют линейным, если для любых функций и любых чисел имеет место равенство

Над операторами, как над числами и функциями, можно производить операции сложения и умножения. Суммой операторов называют такой оператор что для всех функций :

Произведением операторов и к называют такой оператор что для всех имеет место равенство

произведение одинаковых операторов А называют степенью оператора А: Однако в отличие от произведений чисел и функций произведение операторов в общем случае зависит от порядка сомножителей: Если то говорят, что операторы и коммутируют. Легко видеть, что любой оператор коммутирует сам с собой, с любой своей степенью, с тождественным оператором.

Операции сложения и умножения операторов, определенные с помощью формул (4.2) и (4.3), можно использовать для построения функций операторов. Функцией оператора называют оператор

который получается, если функцию разложить в ряд Маклорена и степени переменной заменить степенями оператора А, например:

Если в результате действий, производимых над функцией получается не новая функция, а число, то ворят, что на множестве 2) задан функционал Функционал, обладающий свойством аналогичным свойству оператора (4.1), называют линейным. В функциональном анализе показано, что при соответствующих условиях линейный функционал можно записать в виде интеграла

где некоторая фиксированная функция. Фиксируя в выражении (4.6) функцию ирассматривая значения интеграла на множестве функций получаем функционал определенный уже на множестве Приведенные выше интегралы удобно записывать в виде скалярного произведения функций (§ 3.1):

В теории переноса часто используют пары сопряженных операторов. Операторы А с областью определения и с областью определения называют сопряженными.

если для любой пары функций имеет место равенство

Перепишем определение (4.8) с учетом обозначения (4.7):

Обратимся теперь к кинетическому уравнению (2.7). Используя (4.2), представим левую часть этого уравнения

где операторы

являются, очевидно, линейными. Поэтому линейным будет и оператор

называемый нестационарным кинетическим оператором (оператором переноса). В соответствии с физическим смыслом отдельных слагаемых кинетического уравнения интегральный оператор называют оператором рассеяния, оператором переноса в среде без рассеяния, стационарным кинетическим оператором.

С учетом этих обозначений нестационарное кинетическое уравнение можно записать следующим образом

Стационарное уравнение будет иметь вид

Показания детектора, даваемые формулой (1.29), представляют собой функционал от Ф:

Используя определение (4.9), найдем операторы, сопряженные Для этого сначала рассмотрим функционал

Преобразуем внутренний интеграл интегрированием по частям, считая, что принадлежат множеству дифференцируемых по функций, а обращается в нуль при

Следовательно, Сравнив это равенство с определением (4.9), придем к выводу, что оператор, сопряженный, дифференциальному оператору отличается от него только знаком. Аналогично можно показать, что

Теперь рассмотрим функционал

Изменив порядок интегрирования по штрихованным и нештрихованным переменным в квадратных скобках, получим т.е. сопряженный оператор рассеяния отличается от оператора К порядком аргументов функции которая является ядром оператора рассеяния.

Теперь легко найти оператор, сопряженный оператору переноса:

Сравнение с (2.13) показывает, что совпадает с оператором сопряженного уравнения, и это уравнение можно записать в вйде Приведенные здесь результаты поясняют смысл введенных ранее понятий сопряженного уравнения и сопряженной функции (§ 2.2).

Формулу (1.35) для показаний детектора можно записать как а равенство переписанное в виде станет очевидным, если принять во внимание определение сопряженного оператора (4.9).

Мы не имеем возможности останавливаться здесь на более тонких математических вопросах. Строгое изложение теории переноса на основе функционального анализа читатель найдет в работах [14, 104].

1
Оглавление
email@scask.ru