§ 2.9. Уравнение Колмогорова — Чепмена

Прохождение быстрых частиц через вещество является типичным примером случайного процесса. Если в момент частица находится в точке х фазового пространства, то в момент ее положение в фазовом пространстве будет случайным, зависящим от характера и числа столкновений, которые частица испытала к этому времени. Поэтому для решения задач переноса излучения можно пользоваться методами теории случайных процессов, в частности одним из важнейших уравнений этой теории — уравнением Колмогорова— Чепмена [5, с. 153; 100, с. 384].

Выделим около точки х элемент фазового объема и обозначим вероятность того, что частица, находившаяся в момент в точке х, к моменту окажется в элементе объема Функцию равную отношению этой вероятности к фазовому объему называют плотностью вероятности перехода частицы из точки х в точку х за время Дифференциальная плотность частиц в точке х в момент выражается через

Для перехода к дифференциальной плотности потока воспользуемся формулой (1.15):

где скорость частицы с фазовыми координатами х.

Легко видеть, что есть дифференциальная плотность потока в точке х в момент от точечного мгновенного источника с параметрами Умножив эту величину на и проинтегрировав по фазовому объему детектора и времени, получим средний вклад частицы,

вылетающей из точки х в момент в показания детектора, т. е. сопряженную функцию (ценность):

Убедившись в том, что от нетрудно перейти к дифференциальной плотности потока и ценности, приступим к выводу уравнения для этой функции. Прежде всего обратим внимание на то, что вероятность взаимодействия частицы на пути равная полностью определяется фазовыми координатами частицы в данный момент и не зависит от того, каким путем пришла частица в эту точку. То же самое справедливо и для сечения рассеяния определяющего вероятность изменения направления движения и энергии частицы при столкновении. Это приводит к тому, что плотность вероятности перехода не зависит от того, какой была траектория частицы до момента Случайные процессы, обладающие таким свойством, называют марковскими.

В силу случайного характера процесса распространения частиц через вещество переход частицы из состояния х в состояние х может происходить различными путями. Обозначим произвольный промежуточный момент времени возможные состояния частицы в этот момент. Согласно формуле полной вероятности, вероятность перехода можно записать в виде суммы (интеграла) вероятностей перехода по всем возможным путям, т. е. по всем промежуточным состояниям х, в которых могла находиться частица в момент Поскольку процесс переноса марковский, вероятность перехода равна произведению вероятностей переходов Следовательно,

Это уравнение называется уравнением Колмогорова — Чепмена.

Уравнение Колмогорова — Чепмена в форме (2.71) — это общее соотношение, справедливое для любого марковского процесса. Его практически нельзя использовать для определения плотности вероятности перехода без дополнительной информации о характере исследуемого процесса. В задачах о прохождении частиц через вещество такой информацией являются данные о сечениях и коэффициентах взаимодействия.

Исходя из физического смысла макроскопических сечений, легко получить асимптотическое выражение для плотности вероятности перехода, справедливое для малых интервалов

Первый член этого выражения соответствует частицам, не испытавшим столкновений на пути В момент они будут находиться в точке иметь прежнее направление движения и прежнюю энергию. Второй член соответствует рассеянным частицам.

Устремляя в уравнении или к и используя (2.72), получаем два эквивалентных уравнения для функции Р:

Начальное условие для переходной вероятности, вытекающее из (2.72), имеет вид

Уравнения (2.73), (2.74) будем называть прямым и обратным уравнениями Колмогорова соответственно. Подчеркнем, что в прямом уравнении дифференцирование ведется по координатам точки наблюдения и времени наблюдения, а координаты и время рождения частицы являются параметрами. В обратном уравнении, наоборот, параметрами являются координаты точки наблюдения и время наблюдения, а дифференцирование ведется по координатам точки

и времени испускания частицы. Из уравнений Колмогорова легко получить кинетическое уравнение (2.7) и сопряженное уравнение (2.13). Подействуем на все члены уравнения

Первый член с учетом соотношения начального условия (2.75) и формулы (2.68) преобразуется к виду

Преобразование остальных членов интегрированием по переменным с учетом формулы (2.69). В итоге получается уравнение (2.7). Аналогично, действуя на все члены обратного уравнения Колмогорова оператором получаем сопряженное уравнение (2.13).