§ 6.5. Неаналоговые методы вычисления показаний детектора

При аналоговом моделировании показаний детектора вклад каждого столкновения является случайной величиной:

В то же время в формулы

и в кинетические уравнения для плотности потока и плотности столкновений входит лишь среднее значение этого вклада. Поэтому если вместо вычислять на тех же траекториях величину такую, что ее значение, усредненное по возможным исходам столкновения: является тем же, что и прежде, то при этом не изменится. Во многих случаях удобно положить т. е. вклад каждого столкновения считать

равным среднему значению (аналитическое усреднение вкладов).

Пусть, например, требуется найти вероятность поглощения частицы в некотором объеме В аналоговом методе для этого необходимо построить траекторий и взять отношение числа «поглощенных» в объеме траекторий к общему числу построенных. Другими словами, при таком моделировании Полагая, что в каждом столкновении получаем более эффективный способ оценки числа поглощений. Увеличение эффективности обусловлено тем, что вклад в вычисляемую величину будут теперь давать все столкновения, происшедшие в объеме а не только поглощения, как это было в аналоговой оценке.

В большинстве задач теории переноса вычисление вклада нерассеянных частиц не представляет трудностей и основное внимание уделяется рассеянному излучению. Записав интегральное уравнение переноса в операторном виде (4.110):

увидим, что плотность потока рассеянных частиц связана с плотностью потока всех частиц соотношением а ее вклад в функционал имеет вид Перейдя к сопряженному оператору, перепишем эту формулу в виде

где плотность столкновений, а

— среднее значение вклада следующего столкновения, если рассматриваемое столкновение произошло в точке Сравнив (6.52) с (6.50), увидим, что можно вычислить, моделируя случайные траектории и считая вклад каждого столкновения равным По аналогии с изложенным выше этот способ можно рассматривать как усреднение вкладов не только по исходам столкновения в точке x, но и по всем возможным точкам следующего столкновения.

Формулы (6.52), (6.53) применяют для оценки локальных характеристик [32; 72, с. 92]. В этом случае

в отличие от рассмотренных выше способов оценки локальных характеристик последний метод обладает некоторыми преимуществами: вклад в искомую величину дает каждое столкновение, а математическое ожидание вклада траектории в точности совпадает с искомой величиной. Недостатком этого метода является сравнительно медленное уменьшение статистической погрешности с увеличением обусловленное бесконечным значением дисперсии.

Выражая, согласно § и К через операторы и подставляя их в формулы (6.50), (6.51), получаем

Воспользовавшись определением сопряженных операторов, преобразуем это выражение:

где эффективная плотность источников (§ 1.3), а

— вклад частицы, вылетающей из точки в направлении с энергией усредненный по следующему столкновению в детекторе. На этом результате основан еще один способ оценки функционала сразу после рождения частицы в источнике и после каждого рассеяния вычисляют средний вклад и эти вклады суммируют. В частности, при оценке полной плотности потока в плоско-параллельной геометрии за барьером толщиной вклад частицы после рассеяния на глубине равен если угол между осью и направлением движения частицы меньше прямого, и равен нулю в противном случае.