§ 4.6. Применение преобразований отражения и инверсии координат к решению некоторых односкоростных задач

В некоторых случаях формулы (4.77) и (4.78) позволяют точно решить односкоростные задачи, не решая самих уравнений. Пусть на плоский однородный непоглощающий слой с границами с обеих сторон падают частицы от источников с поверхностной плотностью а и угловым распределением, пропорциональным косинусу угла падения («косинусоидальные» источники соответствуют второму члену в разложении углового распределения произвольного источника по полиномам Лежандра, § 3.4). Требуется найти проинтегрированную по плотность потока частиц в некоторой внутренней точке слоя Обычный метод решения этой задачи состоит в решении уравнения

с граничными условиями и вычислении показаний детектора по формуле

Непосредственное решение уравнения типа (4.79) — довольно сложная математическая задача. В то же время формула (4.77) сразу приводит к точному значению функционала (4.80).

Выразим искомый функционал через функцию Грина:

Подействуем на это выражение оператором Учитывая (4.77), а также очевидное следствие симметрии задачи получаем

формула (4.81) означает, что задача свелась к вычислению показаний детектора с функцией чувствительности

Измеряющего удвоенное число частиц, вылетающих из слоя через обе его границы, от плоского изотропного источника с дифференциальной плотностью . Соответствующее уравнение имеет вид

Интегрируя обе части этого уравнения пой и учитывая, что получаем Интегрируя последнее соотношение по от до приходим к следующему результату:

в то же время, умножив (4.82) на и проинтегрировав полученное выражение с учетом граничных условий, найдем

Сравнивая (4.83) и (4.84), видим, что плотность потока в точке в исходной задаче равна удвоенному значению плотности источника а:

И не зависит от

Аналогично можно найти плотность потока в центре непоглощающего шара радиусом а, облучаемого потоком частиц с направлением и плотностью падающего потока [67, с. 20]:

где внутренняя нормаль к элементу поверхности

Из соображений симметрии не зависит от поэтому (4.86) можно представить в виде Применив преобразование инверсии координат, согласно (4.78) получим

Внутренний интеграл равен плотности потока частиц на поверхности шара от точечного источника, помещенного в его центре: Выражение (4.87) в целом представляет собой число частиц, вылетающих с поверхности шара. Поскольку поглощения нет, число таких частиц равно числу частиц, испускаемых источником [в этом легко убедиться с помощью кинетического уравнения способом, каким было получено равенство (4.83)]:

Формула (4.88) справедлива при любом виде дифференциального сечения рассеяния. Это означает, что плотность потока частиц в центре шара не зависит от 2 и равна плотности потока в вакууме, когда Для этого случая результат (4.88) очевиден.