§ 4.11. Особенности распространения коллимированных пучков частиц

Рассмотренные выше особенности сопряженной функции можно использовать для приближенного описания поля рассеянного излучения коллимированных источников в окрестности первичного пучка [38, 47].

Пусть коллимированный пучок частиц падает на плоский слой поглотителя перпендикулярно его поверхности Тогда показания точечного детектора можно представить в виде

где

плотность потока излучения, падающего на поглотитель; характеристическая функция, равная 1, если точка с координатами приходится на окно коллиматора, и — в противном случае. Так, для цилиндрического коллиматора радиусом а

а для щелевого коллиматора полушириной а

при малом значении а в разложении (4.143) главную роль играют первый и второй члены, содержащие основные особенности сопряженной функции, поэтому высшими членами разложения можно пренебречь.

Обозначим координаты точки наблюдения, тогда

Подставляя (4.147), (4.148) в (4.143), при малых а получаем

где Фохр вклад нерассеянного излучения. Очевидно, первое слагаемое, описывающее нерассеянное излучение, имеет разрывный характер, а второе соответствует непрерывному распределению рассеянного излучения. Интересно отметить, что соотношение между рассеянной и нерассеянной компонентами при малых а не зависит от а определяется лишь коэффициентом и формой коллиматора. Интеграл

совпадает по форме с электростатическим потенциалом в плоскости, на которой распределен заряд с поверхностной плотностью

Подставим (4.145) в (4.150) и перейдем к новым переменным по формулам Тогда для цилиндрического коллиматора радиусом а

Интегрирование по дает

Вводя переменную и интегрируя по частям член, содержащий логарифм, получаем

где

— полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно.

На оси цилиндрического коллиматора при и функция (4.151) принимает максимальное значение т. е. Следовательно, фактор накопления на оси тонкого пучка при а не зависит от глубины

и стремится к 1 при . Это означает, что даже на большой глубине при

доля рассеянного излучения в области прохождения тонкого пучка пренебрежимр мала. Если же условие (4.154) не выполняется, фактора накопления быстро возрастает с глубиной (при достаточно больших а он приближается к фактору накопления в условиях плоско-параллельной геометрии) [80, с. 152].

Подставляя (4.146) в (4.150), легко убедиться, что интеграл (4.150) для щелевого коллиматора бесконечен. Это связано с тем, что формула (4.148) правильно описывает поведение потока излучения только при малых При больших поток убывает быстрее, чем Этот факт можно учесть, умножив (4.148) на где константа, численное значение которой можно найти только при точном расчете. Такой множитель не меняет вида функции при малых и уточняет ее поведение в области больших В этом приближении

Переходя от интегрирования по у к интегрированию по получаем

Интеграл по переменной с помощью замены переменных сводится к табличному:

где К — модифицированная функция Ганкеля [23, с. 330]. Заменяя функцию асимптотическим выражением — постоянная Эйлера) и интегрируя по получаем