§ 4.16. Теория возмущений высших порядков

Описанная выше теория малых возмущений применима лишь в тех случаях, когда изменение плотности потока (или сопряженной функции), вызванное возмущением свойств среды, относительцо мало. В этих условиях величина также является малой и замена возмущенных функций в правых частях равенств (4.164) -(4.166) невозмущенными означает отбрасывание членов высшега порядка:

Однако в ряде случаев исследуемое возмущение не достаточно мало для того, чтобы можно было ограничиться теорией малых возмущений. Для решения таких задач, а также для анализа точности пределов применимости формул теории малых возмущений развита теория возмущений высших порядков, позволяющая последовательно вычислять поправки все более высоких порядков до тех пор, пока точность результата не станет удовлетворительной [94, 105].

Теорию возмущений высших порядков - удобно изложить с использованием операторов Грина. Рассмотрим уравнения переноса с одинаковыми источниками и граничными условиями. Соответствующие операторы Грина обозначим

Поскольку операторы Грина обратны соответствующие операторам переноса, для них имеет место соотношение

где I — тождественный оператор. Представим возмущенный оператор в виде суммы невсзмущенного оператора и оператора возмущения (который не обязательно мал):

и подействуем на это равенство оператором В силу (4.208) получим уравнение

связывающее возмущенный оператор Грина с невозмущенным оператором и оператором возмущения Поменяв местами возмущенные и невозмущенные операторы получим другую (эквивалентную) форму уравнения (4.209):

Умножая каждое из уравнений (4.209), (4.210) на плотность источников (справа) и учитывая (4.207), получаем аналогичные уравнения для плотности потока:

и

называемые уравнениями теории возмущений. Каждое из уравнений (4.209) — (4.212) может стать отправной точкой для построения теории возмущений.

Рассмотрим для определенности уравнение (4.209), переписав его в виде Подействуем на обе части этого равенства оператором

Согласно (4.5),

Подставив (4.214) в (4.213), получим выражение возмущенного оператора Грина через невозмущенный оператор и оператор возмущения в виде бесконечного ряда теории возмущений:

Члены этого ряда содержат различные степени оператора возмущения

Результат (4.125) удобно представить в виде рекуррентного соотношения. Для этого введем обозначения

Частичную сумму (4.216) ряда теории возмущений называют приближением теории возмущений, а разность (4.217) таких сумм — поправкой порядка. Из сравнения этих формул вытекает рекуррентное соотношение для поправок:

Применяя этот оператор к источнику с функцией плотности и используя обозначение

получаем аналогичные соотношения для поправок к плотности потока:

Очевидно, что

Умножив скалярно (4.219) на функцию чувствительности детектора, найдем поправку к показаниям детектора:

Легко видеть, что выведенные выше формулы теории малых возмущений являются поправкой первого порядка теории возмущений. Действительно, из формул (4.220) и (4.222) следует, что откуда, используя свойства сопряженных операторов, получаем

в качестве примера применения теории возмущений высших порядков рассмотрим разложение по столкновениям. Согласно § 4.1, стационарный кинетический оператор имеет вид где интегральный оператор. Решение уравнения

представляет собой плотность потока нерассеянного излучения от источника с функцией плотности

Будем искать решение уравнения с помощью теории возмущений, выбрав в качестве невозмущенного уравнение (4.223). Оператор возмущения при этом равен а формулы (4.220), (4.221) принимают вид:

Сравнив (4.224) с (4.114) и (4.115), мы убедимся в том, что пришли к разложению плотности потока по столкновениям.