§ 4.13. Возмущение поля излучения неоднородностью в плоском слое

Рассмотрим плоский слой вещества толщиной на левой границе которого находится плоский источник с функцией плотности

а на правой точечный детектор с функцией чувствительности

Если слой однороден, то дифференциальная плотность потока и, следовательно, показания точечного детектора не зависят от его координат а зависят лишь от толщины слоя:

Предполагая зависимость известной для слоя с постоянной плотностью рассмотрим слой того же вещества с переменной плотностью В этом случае показания детектора будут зависеть от всех пространственных переменных: Выбирая в качестве невозмущенной среды соответствующий однородный слой, будем называть величину возмущением плотности среды, величину возмущением поля излучения, а интеграл

— суммарным возмущением поля излучения в плоскости Видно, что в данном случае

где и сечения взаимодействия для однородного слоя.

Выразим невозмущенную сопряженную функцию через функцию Грина и подставим ее вместе с (4.176) в формулу из теории малых возмущений (4. 173):

Используя, далее, теорему взаимности (§ 4.2) и симметрию плоского однородного слоя (§ 4.3), находим, что

Подставляя (4.178) в (4.177) и интегрируя в соответствии с (4.175) по координатам детектора, получаем

где

Внутренний интеграл в последнем выражении равен сопряженной функции Грина в плоской задаче; следовательно, выражение (4.180) представляет собой сопряженную функцию для плоского детектора с функцией чувствительности

Сравнивая (4.179) с (4.174) и учитывая (4.176), видим, что задача о вычислении суммарного возмущения свелась к расчету возмущения показаний детектора в плоско-параллельной геометрии, обусловленного возмущением плотности

Как можно показать, что изменение плотности в плоско-параллельной задаче эквивалентно изменению толщины однородного слоя на

Следовательно, формулу (4.179) можно представить в виде

Подставляя в левую часть этого выражения формулу (4.175), а в правую и разлагая в ряд по получаем равенство

показывающее, что в первом приближении теории возмущений суммарное возмущение поля излучения выражается через производную от показаний детектора по толщине однородного слоя [41]. Аналогичный результат получается и для суммарного возмущения отраженного излучения.

Отметим интересную особенность формулы (4.184). Когда детектор измеряет прошедшее через слой излучение, зависимость часто имеет вид кривой с максимумом. Из (4.184) видно, что при толщине слоя, соответствующей максимуму суммарное возмущение равно нулю, т. е. знакопеременная функция.