§ 3.2. Угловое распределение частиц в приближении Фоккера — Планка

Если потерями энергии при рассеянии можно пренебречь (односкоростное приближение), то распределение частиц, прошедших путь по можно получить, решая уравнение (2.80):

где начальное направление движения частицы. Будем считать, что рассеяние происходит преимущественно вперед. Тогда уравнение (3.14) можно решать в приближении малых углов. В соответствии с результатами, полученными в § 2.8, преобразуем уравнение (3.14) к виду

где — сечение поглощения; — вектор с проекциями

Направим ось по вектору Тогда, поскольку с точностью до членов второго порядка Поэтому

Решение уравнения (3.16) будем искать в виде

Уравнение для функции получим, подставив (3.18)

уравнение (3.19) можно решить с помощью преобразования Фурье на плоскости:

Здесь «ортами», по которым ведется разложение «вектора» являются экспоненты для которых условие ортогональности и нормировки имеет вид

Используя разложение (3.21), легко показать, что

Подставим это выражение в уравнение (3.19), умножим все члены уравнения на и проинтегрируем по В первом члене интегрирование по и дифференцирование по I можно поменять местами. Тогда в соответствии с (3.22) этот член будет равен Второй член после интегрирования по с учетом (3.23) примет вид т. е. для отыскания необходимо решить уравнение

с начальным условием

которое легко получить из (3.20), если обе части равенства (3.20) умножить на и проинтегрировать по

Решение уравнения (3.24) с начальным условием (3.25) имеет вид

Подставляя (3.26) в (3.21), получаем

Интеграл (3.27) будем вычислять в полярных координатах, где Используя известное интегральное представление функции Бесселя

получаем

Согласно

Поэтому

и

Множитель в этой формуле описывает поглощение частиц на пути 1.

Из (3.32) видно, что угловое распределение частиц, прошедших путь является гауссовым. Средний квадрат угла многократного рассеяния, характеризующий ширину углового распределения, можно найти, вычисляя интеграл Переходя к полярным координатам и интегрируя по частям, получаем

т. е. с увеличением I угловое распределение уширяется.

Говоря об области применимости формулы (3.32), следует отметить, что замена интеграла столкновений дифференциальным оператором возможна, если угловое распределение изменяется медленнее, чем дифференциальное сечение. Это условие выполняется, если I достаточно велико по сравнению со средней длиной пробега между столкновениями. Однако при больших I неприменимо использованное при выводе односкоростное приближение. С ростом

1 увеличиваются потери энергии, и пренебрегать зависимостью сечений от энергии нельзя.

Еще одна трудность возникает при применении формулы (3.32) для описания многократного рассеяния заряженных частиц. В этом случае сечение рассеяния пропорционально 1/9 и интеграл (2.63), определяющий значение логарифмически расходится. Вопрос о форме углового распределения заряженньц частиц подробнее обсуждается в § 3.14.