§ 3.4. PN-приближение

Рассмотрим односкоростное кинетическое уравнение в плоской геометрии с источником, симметричным по азимуту:

Чтобы решить это уравнение, используем разложение по полиномам Лежандра. Для этого, как и в предыдущем параграфе, сначала преобразуем интеграл столкновений. По

аналогии с (3.44) его можно представить в виде

где — коэффициенты разложения дифференциального сечения рассеяния и дифференциальной плотности потока по полиномам Лежандра.

Подставим теперь (3.53) в (3.52), умножим все члены получившегося уравнения на и проинтегрируем по й. Тогда правая часть уравнения будет равна

интеграл столкновений с учетом условия ортогональности для полиномов Лежандра (3.35) примет вид а член преобразуется к виду

Переходя к преобразованию градиентного члена, отметим, что для полиномов Лежандра имеет место следующее рекуррентное соотношение:

Поэтому градиентный член преобразуется к виду

Таким образом, для нахождения коэффициентов разложения дифференциальной плотности потока по полиномам Лежандра получаем следующую систему уравнений:

Здесь

Систему этих дифференциальных уравнений можно рассматривать в качестве исходной для определения трансформант плотности потока вычислив которые, можно восстановить плотность потока по формуле

Сведение интегро-дифференциального кинетического уравнения к системе дифференциальных уравнений значительно облегчает решение задачи и является весьма распространенным приемом в теории переноса различных частиц: нейтронов, электронов, -квантов [7, с. 100; с. 76; 28, с. 142; 31, с. 158; 63, с. 129].

Уравнения (3.56) образуют бесконечную систему дифференциальных уравнений с бесконечным числом неизвестных. Её можно решить только приближенно, ограничившись в разложении (3.58) несколькими первыми членами. Система уравнений в этом случае становится конечной, и для ее решения можно использовать стандартные методы. Приближение, в котором пренебрегают величиной называется -приближением.

Низшим из рассматриваемых является -приближение, в котором система уравнений имеет вид

Заметим, что поэтому в соответствии с (3.57)

Величину называют транспортным сечением. Для изотропного источника и » в чем легко убедиться, если использовать условие ортогональности (3.35) при Для такого источника уравнения (3.59) принимают вид

Продифференцировав второе уравнение по координатам и подставив в первое уравнение, получим

Уравнение (3.60) для нулевой трансформанты, равной проинтегрированной по углам плотности потока представляет собой

одномерное уравнение диффузии с коэффициентом диффузии Решив это уравнение и вычислив по формуле (3.61) первую трансформанту, можно восстановить угловое распределение по формуле (3.58), которая в -приближении имеет вид

Число членов, которые необходимо удержать в разложении (3.58), определяется характером решаемой задачи. Если искомое угловое распределение близко к изотропному, часто оказывается достаточным -приближение. С увеличением точность метода повышается, но при этом растет объем вычислений. В случае сильной анизотропии потока, которая имеет место, например, для направленного источника и происходящего вперед рассеяния, -приближения сходятся медленно.