§ 3.14. Распределение Мольера

Сечение рассеяния заряженных частиц описывается формулой Резерфорда. С учетом экранирующего действия электронных оболочек эта формула имеет вид [122]:

где атомный номер вещества-поглотителя; число атомов в единице объема; заряд налетающей частицы; ее импульс и скорость. Множитель описывает экранирование. Он убывает как при и равен единице, если превышает некоторое предельное значение, называемое углом экранирования.

Из формулы (3.144) видно, что сечение быстро убывает с ростом , поэтому задачу о многократном рассеянии заряженных частиц можно решать в приближении малых углов. Если при этом толщина поглотителя невелика, то в кинетическом уравнении можно пренебречь потерями энергии.

Односкоростное кинетическое уравнение для плоской геометрии в приближении малых углов имеет вид (3.70). Используем для его решения преобразование Фурье — Бесселя:

Вычисления, проведенные в § 3.6, показывают, что

где Для заряженных частиц поэтому можно записать в виде

Подставим (3.144) в (3.147) и запишем показатель экспоненты формулы (3.146) в виде

где

Область интегрирования в формуле (3.148) разобьем на два интервала: выбрав в качестве значение 6, которое превышает угол экранирования (см. с. 80). Тогда в интервале можно положить

В интеграле, соответствующем малым функцию Бесселя разложим в ряд: тогда

Интегрируя по частям, получаем где учтено, что

Как уже отмечалось, приувеличении 0, поэтому с ростом и интеграл в квадратных скобках не зависит от если достаточно велико. Обозначим этот интеграл Тогда

Второй интеграл

после замены переменных и интегрирования по частям приводится к виду

Используя известные соотношения для функции Бесселя [53, с. 665] и интегрируя по частям, получаем

раз проинтегрируем по частям:

Таким образом,

Поскольку нижний предел интегрирования в (3.151) мал, все функции в правой части равенства (3.152) можно разложить в ряд, удерживая лишь первые неисчезающие члены:

где С — постоянная Эйлера. Тогда

Складывая (3.150) и (3.153) и подставляя эту сумму в (3.148), находим

Обозначив Хер перепишем (3.154) в виде

где

Обозначим решение трансцендентного уравнения тогда формула (3.155) примет вид где и Поэтому

Подставляя (3.156) в обратное преобразование Фурье — Бесселя (3.145) и производя в интеграле замену переменных легко получить формулу

где

Вторую экспоненту под знаком интеграла разложим в ряд:

Тогда запишется в виде

где

Формулы распределением Мольера

Первый член ряда (3.160) можно вычислить аналитически с помощью формулы (3.30):

т. е. угловое распределение частиц в этом приближении является гауссовым:

В соответствии с формулой (3.149), определяющей полуширина углового распределения увеличивается с увеличением глубины и атомного номера вещества поглотителя Она уменьшается с увеличением энергии налетающей частицы.

Второй член ряда (3.160) также можно вычислить аналитически, однако вид его более сложен. Таблицы функций приведенные в работе [112], позволяют вычислить дифференциальную плотность потока с погрешностью менее

Интересной особенностью распределения (3.160) является то, что оно не зависит от вида функции описывающей экранирование. Влияние экранирования учитывается параметром который называют углом экранирования. Мольер вычислил этот параметр в рамках модели Томаса — Ферми [122]. По порядку величины этот угол равен отношению длины волны де Бройля налетающих частиц к размеру атома.

Распределение Мольера имеет универсальный характер: оно справедливо для любых веществ. Атомный номер и другие характеристики вещества входят только в параметры распределения

Область применимости формулы (3.160) ограничивается тем, что она выведена без учета потерь энергии при столкновениях. Для поглотителей с формула справедлива до глубины порядка 0,1 длины пробега. Для поглотителей с ее можно применять длины пробега.