§ 5.5. Флуктуации числа столкновений в однородной среде

Рассмотрим в качестве примера применения вероятностных уравнений расчет флуктуаций числа столкновений бесконечной однородной среде (или числа вторичных частиц, если в каждом столкновении рождается одна вторичная частица). В этом случае вклад в показания детектора от каждого столкновения равен единице: , а распределение в силу однородности и изотропности среды не зависит от координаты и направления Уравнение (5.26) тогда примет вид

Поскольку случайная величина представляющая собой число столкновений, может принимать лишь целочисленные значения, плотность ее распределения записывается как

где вероятность того, что частица с энергией испытывает в однородной бесконечной среде столкновений (включая и поглощение).

Подставляя (5.56) в (5.55) и интегрируя все члены уравнения по q в интервале , где получаем уравнение для вероятности

Уравнение (5.57) можно вывести и непосредственно, используя формулу полной вероятности. В бесконечной однородной среде каждая частица рано или поздно испытывает столкновение, т. е. В этом столкновении она может поглотиться или рассеяться, и вероятности этих событий равны и соответственно. В первом случае число столкновений будет равно единице. Во втором случае частица изменит свою энергию после чего может испытать любое число столкновений с вероятностью Поэтому

что совпадает с (5.57).

Уравнения для первого и второго моментов

можно получить, умножая (5.57) на и суммируя по

С помощью (5.60) правую часть уравнения (5.61) можно упростить:

Оператор, стоящий в левой части уравнений (5.60), (5.62), является сопряженным оператору переноса в уравнении деградации энергии (§ 2.6). Поэтому решения уравнений

(5.60), (5.62) выражаются через сопряженные функции Грина следующим образом:

и

Используя теорему взаимности (§ 4.2): вместо (5.63), (5.64) получаем

Функция Грина в данном случае является равновесным спектром (спектром деградации энергии) от моноэнергетического источника частиц с энергией

В приближении постоянных сечений вероятности не зависят от энергии, и из уравнения (5.58) сразу следует рекуррентное соотношение: где вероятность «выживания» при столкновении. Этому соотношению удовлетворяют вероятности

Действительно, в рассматриваемом приближении элементарные процессы взаимодействия статистичёски независимы и вероятность того, что частица испытает рассеяние, а затем поглотится, равна произведению соответствующих вероятностей: Моменты этого распределения легко найти как из уравнений (5.60), (5.62), так и непосредственно из (5.67):

Отсюда

Отметим, что для заряженных частиц задача о флуктуации числа столкновений представляет интерес в связи с тем, что величина этих флуктуаций определяет разрешающую способность детекторов ионизации [89, c. 157].