§ 5.6. Флуктуации показаний детектора малых размеров

Применим формулы (5.46) и (5.49) к анализу статистических флуктуаций показаний малого детектора. В стационарном случае

Зная эти величины, можно найти относительные флуктуации показаний детектора

Пусть в чувствительном объеме детектора функции не зависят от координат. Поскольку обращается в нуль вне этого объема, формулу (5.69) перепишем в виде

Разложим плотность потока в ряд около некоторой точки принадлежащей объему

и подставим разложение в (5.72):

Отброшенные члены имеют порядок произведения объема на квадрат линейных размеров детектора. Выберем точку так, чтобы выполнялось равенство В частности, для сферического детектора точка должна совпадать с центром сферы. Тогда (5.73) примет вид

Анализируя выражение для дисперсии (5.70), видим, что в этом приближении

где

— усредненная по объему ценность. Действительно, ценность внутри детектора малых размеров в первом приближении имеет вид

где расстояние от точки до границы детектора в направлении Подставляя (5.77) в (5.76), получаем

т. е. второе слагаемое в (5.75) имеет порядок произведения объема на линейные размеры детектора, а третье (отброшенное) слагаемое пропорционально квадрату объема детектора, если детектор не пересекается с источником. В частности, для сферического детектора радиусом а и формула (5.75) принимает вид

Подставляя (5.74) и (5.78) в (5.71) и учитывая, что второе слагаемое в (5.78) мало по сравнению с первым, получаем

где в аргументе дифференциальной плотности потока для краткости опущено.

Сравнивая (5.75) с (5.52), убеждаемся, что флуктуации показаний детектора малых размеров в случае произвольного источника такие же, как в случае источника независимых частиц. При этом первый сомножитель в (5.79) описывает флуктуации, обусловленные однократным взаимодействием частиц с детектором, а поправка в фигурных

скобках учитывает двойные последовательные столкновения частиц с детектором. При а О формула (5.79) в случае изотропного детектора перехолт в формулу, полученную в работе [46] из более простых физических соображений.

Для детектора, измеряющего число столкновений в объеме согласно (5.8), (5.11) и (5.12), и формула (5.79) принимает вид

где энергетический спектр источников рассеянных частиц (см. § 1.3). Первый сомножитель в (5.80) соответствует флуктуациям пуассоновского распределения со средним значением

Для детектора, измеряющего поглощенную в объеме энергию:

где

— моменты распределения доли энергии, потерянной частицей при одном рассеянии в детекторе. При этом и

Подставляя (5.81) — (5.83) в (5.79), получаем относительные флуктуации показаний рассматриваемого детектора. Для -квантов сечение дается формулой Клейна — Нишины — Тамма, коэффициенты (5.82) не зависят

от атомного номера вещества и вычисляются аналитически:

где классический радиус электрона; энергия покоя электрона; о — полное сечение комптоновского рассеяния на одном электроне.

Результаты вычислений и представлены в табл. 5.1.

Таблица 5.1 (см. скан) Коэффициенты и для комптоновского рассеяния -квантов