§ 4.4. Следствия инвариантности

Согласно (4.22), показания детектора выражаются через плотность источников функцию Грина и функцию чувствительности детектора соотношением

Предположим, что в одной из функций или переменные X и разделяются. Пусть, например,

т. е. от времени зависит только число частиц, испускаемых в единицу времени, а их пространственное, угловое и энергетическое распределения неизменны. Подставив

(4.36) и (4.42) в (4.41), рассмотрим отдельно интеграл по переменным и

Перейдя от переменной к новой переменной получим

Подставив этот интеграл в (4.41) и введя обозначение

придем к следующему результату:

Формула (4.44) отличается от (4.41) заменой величиной величиной т. е. показания детектора с функцией чувствительности в поле излучения источника, описываемого функцией равны показаниям детектора с функцией чувствительности в поле мгновенного источника.

Если переменные разделяются в функции чувствительности детектора: то, учитывая в (4.41), что легко получить формулу

где

В этом случае показания детектора с функцией чувствительности в поле источника, описываемого функцией плотности совпадают с показаниями мгновенного детектора в поле источника с функцией определяемой формулой (4.46). Формулы (4.44) и (4.45) упрощаются, если плотность источников или функция

чувствительности детектора зависят от времени. В первом случае, когда :

где

так как в соответствии с Во втором случае, когда

где

Уравнение для функции можно получить, если все члены уравнения (4.29) проинтегрировать по В левой части равенства интегрирование по и дифференцирование по можно поменять местами. Но не зависит от поэтому член с производной по исчезает:

т. е. представляет собой функцию Грина стационарного уравнения переноса.

Таким образом, задача о вычислении показаний детектора становится стационарной, если хотя бы одна из функций не зависит от времени.

Аналогичные результаты получаются и для сдвигов в пространстве. В частности, в случае бесконечнрй однородной среды (стационарная задача) имеем при

при

В первом случае распределенный источник превращается в точечный, а точечный детектор — в объемный, втором — объемный детектор превращается в точечный, а точечный источник — в объемный. Формулы (4.51), (4.52) упрощаются, если или не зависят от пространственных переменных. В случае

В случае

где

Равенство (4.56) легко доказать, если учесть, что в соответствии с (4.40)

Уравнение для функции можно получить, если все члены уравнения (4.50) проинтегрировать попеременной Градиентный член при этом исчезает, таккак операторы и можно поменять местами, а интеграл от по переменной в силу (4.56) не зависит от

т. е. функция представляет собой функцию Грина уравнения для равновесного энергетически-углового распределения.

Рассмотрим еще задачу, когда или не зависят от пространственных переменных или В первом случае

Во втором случае

где

— функция Грина для плоской задачи, удовлетворяющая уравнению

В качестве примера применения полученных выше соотношений рассмотрим поле дискового источника радиуса, для которого

где

Детектор считаем точечным: В соответствии с (4.49), (4.52) такая система эквивалентна источнику с функцией плотности

излучение которого регистрируется детектором с функцией чувствительности

Вычислив этот интеграл, найдем

Функция чувствительности (4.66) соответствует дисковому детектору радиуса а, расположенному в плоскости с центром в точке

Если (источник плоский), то

В этом случае показания точечного детектора зависят только от обозначим их Согласно (4.65) и (4.67)

где

— показания точечного детектора с функцией чувствительности в поле точечного источника с функцией плотности Если источник и детектор изотропны, зависит только от расстояния от источника до детектора: и формула (4.68) принимает вид

Перейдем к полярным координатам: и сделаем замену переменной Тогда Продифференцировав обе части этого равенства по получим простую формулу, связывающую характеристики поля точечного изотропного и плоского изотропного источников: