Глава 3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПЕРЕНОСА В ОДНОРОДНОЙ БЕСКОНЕЧНОЙ СРЕДЕ

§ 3.1. Разложение по системе ортогональных функций

Уравнения переноса, полученные в гл. 2, представляют собой интегро-дифференциальные уравнения, и большая часть методов их решения основана на том, что разделением переменных эти уравнения превращаются в системы дифференциальных или интегральных уравнений, для решения которых затем используют стандартные методы.

Разделение переменных обычно проводится разложением дифференциальной плотности потока или сопряженной функции по какой-либо полной системе ортогональных функций, после чего уравнение переноса превращается в уравнение для коэффициентов этого разложения.

Систему линейно-независимых функций называют ортогональной на отрезке если эти функции удовлетворяют требованию

Систему называют полной в некотором классе функций, если любую функцию из этого класса можно представить в виде разложения

Коэффициенты с легко найти, если левую и правую части (3.2) умножить на и проинтегрировать по х с учетом (3.1):

Формулы (3.1) — (3.3) станут нагляднее, если ввести обозначение

и назвать такой интеграл скалярным произведением функций определенных на отрезке В этих обозначениях условие ортогональности (3 1) принимает вид аналогичный условию ортогональности векторов в векторной алгебре. Отметим, что, не нарушая свойства (3.1), функции можно нормировать таким образом, чтобы Тогда условие ортогональности (3.1), разложение (3.2) и формула (3.3) запишутся в виде

Вторую формулу (3.5) можно рассматривать как аналог разложения вектора по ортам, где функции играют роль ортов, а коэффициенты с — роль проекций вектора Третья формула (3.5) совпадает с известной формулой векторного анализа, утверждающей, что проекция вектора на любое направление равна скалярному произведению этого вектора на орт указанного направления.

В качестве «ортов», по которым производится разложение [см. вторую формулу (3.5)], можно использовать и системы комплексных функций. Однако для комплексных функций скалярное произведение определяется несколько иначе:

Это необходимо, чтобы «квадрат длины вектора» был положительной величиной.

Множество ортогональных функций, удовлетворяюш; их условию (3.1), не обязательно является счетным. Существуют такие системы функций, где пробегает непрерывный ряд значений. В этом случае в разложении по «ортам» сумма заменяется интегралом:

(непрерывно изменяющийся индекс обычно рассматривается как дополнительная переменная, от которой зависит

Умножим обе части равенства (3.7) на и проинтегрируем по х:

Внутренний интеграл в правой части этого равенства в соответствии с (3.1) равен нулю при всех , кроме

Чтобы правая часть (3.8) не была тождественно равна нулю для произвольной функции необходимо, чтобы выражение (3.9) при обращалось в бесконечность, как -функция. Выбирая коэффициент пропорциональности равным единице, получаем условие нормировки

Тогда (3.8) переходит в равенство т. е. совпадает с третьей формулой (3.5).

В теории переноса используются и более сложные разложения. Наиболее общим является разложение по системе биортогональных функций с весом В этом случае используют две системы линейно-независимых функций: удовлетворяющих условию

если эти системы счетные, и

если индексы тип могут изменяться непрерывно. Разложение произвольной функции по-прежнему представляется в виде (3.2) или (3.7), а коэффициенты определяются формулами

которые получаются умножением (3.2) или (3.7) на и интегрированием по с учетом (3.11), (3.12).

Легко видеть, что (3.11) — (3.13) переходят в первую формулу (3.5), (3.10) и в третью формулу (3.5), если а функции образующие сопряженную систему, совпадают с комплексно-сопряженными функциями

при решении уравнений переноса чаще всего используют разложения по сферическим функциям, полиномам Эрмита и Лагерра, а также преобразования Фурье, Лапласа, Меллина и Фурье — Бесселя.