§ 4.7. Преобразование подобия

Выше рассмотрены преобразования системы координат, при которых свойства среды (т. е. сечения взаимодействия) оставались неизменными. В этом параграфе рассмотрим преобразование времени и координат с одновременным изменением сечений, относительно которого функция Грина (с точносю до известного постоянного множителя) инвариантна [24, 106, 131].

Запишем уравнение для функции Грина в виде

где оператор, содержащий информацию о свойствах среды. Введем оператор изменения масштаба времени действие которого на функцию времени заключается в следующем: сначала производится замена переменных затем изменение обозначений Подействуем этим оператором на обе части уравнения (4.89). Учитывая, что

получаем

Введем оператор изменения масштаба координат действие которого состоит в замене пеменных с последующим изменением обозначений Применяя этот оператор к уравнению (4.90) с учетом того, что , приходим к уравнению

Заменим, наконец, сечения обозначив функцию Грина в среде с сечениями 2/7 и представим уравнение (4.91) в виде

Теперь легко показать, что, полагая можно прийти к уравнению типа (4.89):

для функции Если граничные условия уравнений (4.89) и (4.93) совпадают, то получается важное соотношение подобия:

в котором сходственные точки связаны соотношением

Следовательно, чтобы вычислить функцию Грина в более плотной среде, необходимо в раз увеличить расстояние и временной, интервал между дельта-источником и дельта-детектором в исходной среде, найти функцию Грина для этих значений и увеличить ее в раз.

Умножая обе части равенства (4.94) на учитывая, что в силу и интегрируя, находим, согласно (4.48), соотношение подобия для стационарных функций Грина:

Интегрируя (4.96) по и используя (4.61), получаем, что для плоских функций Грина в сходственных точках имеет место равенство

В плоско-параллельной геометрии можно получить более сильное соотношение подобия, связывающее функцию Грина для среды с переменной

плотностью с функцией Грина ; для однородной среды с плотностью С учетом того, что сечения взаимодействия пропорциональны плотности: запишем уравнения для функции Грина:

и

Будем считать такой, что функция Грина удовлетворяет тому же условию на бесконечности, что и

Умножим уравнение (4.98) на и перейдем к новой переменной

Тогда с учетом свойства -функции оно примет вид

Сравнивая уравнения (4.99) и (4.101), находим искомое соотношение

где сходственные точки удовлетворяют равенствам (4.100).

Из формул (4.40) и (4.61) видно, что в однородной среде функция Грина плоской задачи зависит от поэтому зависит от величины пропорциональной массе вещества (на 1 см), находящегося между источником и детектором. В связи с этим в плоских задачах часто измеряют толщину слоя в массовых единицах.