§ 5.8. Распределение частиц по длине пробега

Обозначим I путь, который проходит частица, пока ее энергия остается выше некоторого порогового значения В этой задаче так как вклад в I от каждого элемента траектории равен длине этого элемента. В однородной бесконечной среде распределение по I не зависит от координат точки, где родилась частица, и начального направления движения, поэтому вместо (5.86), (5.87) имеем

как рассеяние с переходом частицы в интервал этой задаче эквивалентно поглощению.

С помощью замены переменных интегральный член уравнения (5.91) приводится к виду — Для простоты будем предполагать, что полное сечение 2 не зависит от энергии, зависит только от переданной энергии В этом приближении, которое справедливо при близких к уравнение (5.91) примет вид

Здесь т. е. пороговая энергия принята за начало отсчета энергии.

Граничное условие удобно преобразовать с учетом того, что

Поэтому

Решение уравнения (5.92) можно получить с помощью преобразования Лапласа по энергии (§ 3.11, 3.15):

Интеграл (5.94) можно вычислить приближенно, используя разложение В этом приближении

Интеграл вычислялся в § 3.15. Он равен Второй интеграл вычисляется дифференцированием по параметру:

Таким образом,

Легко видеть, что при показатель экспоненты стремится к быстро убывает. Эта функция заметно отлична от нуля только в области где

т. е. распределение I является нормальным с параметрами

и относительными флуктуациями

Из этих формул видно, что флуктуации пробега определяются значением у (у характеризует флуктуации потерь энергии в индивидуальных столкновениях). С уменьшением у распределение (5.95) сужается, стремясь к -функции которая соответствует непрерывным потерям энергии.

Отметим, что при фиксированной начальной энергии средний путь 7 и дисперсия а? пропорциональны ширине интервала А, в котором рассматривается замедление. Поэтому относительная флуктуация с ростом А убывает и наименьшей будет флуктуация полной длины пробега частицы.

Формулы (5.96) получены в приближении постоянных сечений, поэтому их нельзя использовать для расчета среднего значения и дисперсии полной длины пробега частицы, которая теря при замедлении в веществе всю свою энергию. Чтобы вычислить вернемся к уравнению (5.91) и преобразуем его в уравнения для двух первых моментов:

которые являются частным случаем уравнений (5.88). Решение этих уравнений получим с помощью метода возмущений (§ 4.12).

Перейдем под интегралами к переменной Если быстро убывает с ростом то, разлагая в ряды по степеням и пренебрегая для простоты поглощением, получаем

В, нулевом приближении в этих уравнениях можно пренебречь производными второго и высших порядков:

Соответствующая функция Грина удовлетворяет простому уравнению и легко может быть найдена:

С помощью этой функции Грина найдем решения уравнений (5.100):

Однако данное приближение, очевидно, недостаточно для решения задачи о флуктуациях, гак как что соответствует непрерывному замедлению частицы, когда ее энергия и путь однозначно связаны.

Удержим теперь вторые производные в уравнениях (5.99), рассматривая эти члены как возмущение. В первом приближении

Учитывая, что и пренебрегая зависимостью у от энергии, получаем

т. е. средняя длина пробега, вычисленная с учетом флуктуаций потерь энергии, больше длины пробега в модели непрерывного замедления.

В уравнении для возмущенным является не только оператор но и правая часть, которая с учетом (5.103) увеличивается на в этом случае где

Используя (5.101) и (5.102), приведем эту формулу к виду

проинтегрируем второе слагаемое по частям:

Подставляя найденные выражения для первых моментов в формулу для дисперсии и пренебрегая слагаемым, содержащим отношение во второй степени, окончательно получаем

Выражение (5.104) можно вывести и из (5.96), если область разбить на малые интервалы А и предположить, что пробеги в каждом из них статистически независимы. Тогда дисперсию полной длины пробега можно получить суммированием дисперсий (5.96) по всем интервалам. В пределе при А О сумма перейдет в интеграл (5.104) [89, с. 102].