§ 7.2. Уравнения для плотности вероятности перехода

Наиболее сложной частью программы для построения электронных траекторий является процедура моделирования многократного рассеяния на отрезке пути. Обозначим плотность вероятности перехода из точки в точку фазового пространства за счет столкновений с малыми передачами энергии на пути Уравнение для этой переходной плотности

выводится так же, как обычное уравнение переноса (§ 2.10), и имеет вид

где дифференциальные переданной энергии сечения ионизационных и радиационных взаимодействий; дифференциальное по направлениям сечение упругого рассеяния на атомах.

В уравнении (7.1) мы пренебрегли потерями энергии при упругом рассеянии и изменением направления движения в неупругих столкновениях с малой передачей энергии. Изменение направления движения за счет далеких столкновений с электронами атома можно учесть введением поправок в формулу для сечения упругого рассеяния (см. Приложение).

Отметим также, что уравнение (7.1) справедливо для случая однородной бесконечной среды. Неоднородности поглотителя учитываются в схемах группировки столкновений уменьшением отрезков вложенной траектории вблизи границ раздела.

Для решения уравнения (7.1) будетг использовать метод, близкий по смыслу к методу разделения переменных и заключающийся в том, что функцию представляют в виде произведения функций, каждая из которых отражает одну из существенных особенностей процесса переноса.

Сначала запишем решение уравнения (7.1) в виде

где

— плотность вероятности перехода из состояния с энергией в состояние с энергией на пути I (§ 2.10). Уравнение и начальное условие для можно получить,

интегрируя (7.1) и (7.2) по переменным

Решение этого уравнения получено и обсуждается в § 7.3.

Функция описывает флуктуации потерь энергии на пути поэтому, чтобы получить приближенное выражение" для функции второй сомножитель в формуле (7.3) можно вычислить без учета флуктуациц, т. е. в приближении непрерывного замедления. В этом приближении члены кинетического уравнения, соответствующие неупругому рассеянию, заменяются величиной — где

— средние потери энергии на единице длины пути в далеких столкновениях.

Уравнения (7.1) и (7.5) в этом приближении имеют вид:

Подставляя выражения

в уравнения (7.8) и (7.10) соответственно, легко убедиться, что функции являются решениями этих уравнений. Наличие -функции в формулах (7.12), (7.13) говорит о том, что длина пути и энергия электрона однозначно связаны соотношением

Множитель удовлетворяет уравнению

причем

В уравнении где зависимость определяется соотношением (7.14).

Уравнение (7.15) для точно не решается. Для приближенного решения можно использовать методику, аналогичную описанной выше. Сначала представим это решение в виде

где

— распределение по направлениям электронов, прошедших путь 1. Уравнение для функции можно получить, как и раньше, интегрируя все члены уравнения (7.15) по пространственным координатам

Начальное условие для имеет вид

Решение уравнения (7.19) называют распределением Гоудсмита-Саудерсона (см. § 7.4).

Функция учитывает изменение направления движения частицы за счет многократного рассеяния. Поэтому решение уравнения (7.15) можно получить по формуле

(7.17), вычисляя второй сомножитель в приближении малых углов. Но прежде чем выписать соответствующие уравнения, проведем в данном сомножителе еще одно разделение переменных. Для этого запишем числитель в виде

где

Тогда формула (7.17) примет вид

Уравнение для отыскания функции можно получить, интегрируя все члены уравнения (7.15) по переменным учитывая, что если или

Начальное условие для функции вытекает из (7.16), (7.22):

Для вычисления второго сомножителя в формуле (7.23) запишем уравнения (7.19) и (7.24) в приближении малых углов. Как отмечалось в § 2.8, в этом приближении проекции вектора выражаются через проекции вектора и поэтому вместо можно писать Используя приближение Фоккера-Планка (§ 2.8), преобразуем уравнение (7.19) к виду

Решение этого уравнения получено в § 3.2.

Переходя к приближению малых углов в уравнении (7.24), заменим функцию в градиентном члене функцией а интеграл столкновений запишем в

приближении Фоккера-Планка:

Решение уравнения (7.28) приведено в § 7.5.

Для вычисления последнего сомножителя в формуле (7.23) запишем уравнения (7.15) и (7.24) в приближении малых углов, полагая при этом т. е. опуская члены второго порядка. Переход к приближению малых углов в уравнении (7.15) производится так же, как в § 2.8, и дает

Сделав в уравнении (7.30) подстановку

придем к уравнению

Решение уравнения (7.33) приведено в § 7.5.

Уравнение (7.28) в аналогичном приближении имеет вид

Подстановкой оно сводится к уравнению (7.26).

Таким образом, плотность вероятности перехода можно записать в виде произведения четырех сомножителей:

Первый из них, описывает флуктуацию потерь энергии этектронов на пути Второй, угловое распределение электронов при многократном рассеянии. Третий,

описывает флуктуации координаты при заданном 1. Четвертый,

- распределение поперечных смещений