§ 3.5. Диффузионное приближение

Приведем примеры решения диффузионного уравнения в бесконечной среде для источников двух типов: плоского изотропного и точечного изотропного [6, с. 112; 66, с. 128; 86, с. 35].

Пусть источник частиц распределен в плоскости с постоянной поверхностной плотностью сгоб Тогда уравнение диффузии

при о является однородным:

Общее решение этого уравнения имеет вид

где параметр называется длиной диффузии. Из условия ограниченности плотности потока частиц при коэффициент при возрастающей экспоненте в последнем уравнении (3.61) следует приравнять нулю:

В силу очевидной симметрии задачи и (3.62) можно записать в более компактном виде:

Постоянную А можно найти различными способами. В частности, в стационарном случае число частиц, испускаемых источником, равно числу поглощенных частиц: Подставляя сюда (3.63) и интегрируя, находим А. Окончательно плотность потока от плоского источника в диффузионном приближении равна

Для точечного изотропного источника, помещенного в начало координат и испускающего частиц в единицу времени, уравнение диффузии имеет вид

В силу симметрии задачи и уравнение (3.65) упрощается:

В области пространства, свободной от источников (всюду, кроме начала координат), уравнение (3.66) является однородным.

Введем новую функцию Из (3.66) следует, что она подчиняется уравнению — по форме совпадающему с диффузионным уравнением в плоской геометрии (3.60). Поэтому Для определения нормировочной постоянной В, как и раньше, воспользуемся тем, что число поглощенных частиц равно числу испущенных: Вычисляя илтеграл в сферических координатах, получаем В Поэтому

В бесконечной однородной среде плотность потока зависит только от расстояния между источником и детектором. Поэтому если Источник помещен не в начало координат, а в точку то