§ 6.8. Модификация метода Монте-Карло

Рассмотрим некоторые модификации метода Монте-Карло, часто применяемые в задачах теории переноса [72, с. 82; 87, с. 231; 88, с. 102; 99; с. 220].

Пусть в точке находится единичный источник частиц с энергией испускаемых в направлении Запишем в явном виде плотность первых столкновений

и плотность вероятности перехода

Разделив и умножив плотность вероятности перехода на получим

где в отличие от нормировано на Это означает, что если выбрать для неаналогового моделирования плотности вероятностей то вероятность поглощения Ко будет равна нулю и траектории будут продолжаться до тех пор, пока не выйдут за пределы поглотителя или пока функция ценности не станет равна нулю. При этом возрастет вероятность попадания частицы в детектор и соответственно уменьшится дисперсия. Согласно (6.71), (6.82), статистический вес

равен вероятности того, что частица не поглотится ни в одном из предыдущих столкновений. В то время как в аналоговом методе это событие разыгрывалось, здесь его вероятность вычисляется аналитически, поэтому рассматриваемую модификацию называют аналитическим усреднением поглощения. Розыгрыш остальных элементов траектории (длины пробега, направления и энергии после рассеяния) производится так же, как в аналоговом моделировании.

Заменим теперь в (6.101), (6.102) 2 величиной 2 и соответственно величиной оставив неизменным дифференциальное сечение Полученные таким образом выражения будем использовать как новые плотности для неаналогового моделирования. Тогда весовые множители будут равны

а статистический вес определится формулой

в этом случае выражение для оценки плотности потока по столкновениям в

будет отличаться от обычного выражения для оценки в среде с сечением только множителем

Подагая в формулах (6.103), (6.104) получаем новую модификацию аналитического усреднения, где розыгрыш длины пробега производится с использованием только сечения рассеяния, а вероятность поглощения учитывается введением экспоненциальных весов -

В задачах, где интерес представляет поле излучения на больших расстояниях от источника, применяют экспоненциальное преобразование. Пусть, например, детектор удален на большое расстояние от источника вдоль оси Выберем сечение 2 зависящим от угла между осью и направлением движения частицы так, чтобы при оно было наименьшим, а при наибольшим. В этом случае траектории с большей вероятностью будут достигать больших глубин и вносить вклад в показания детектора. В частности, если где — постоянная величина, то и статистический вес определяется лишь координатой частицы в данный момент

независимо от ее предыстории. Если начало координат совпадает с центром источника, то

Если детектор измеряет поле излучения на фиксированной глубине статистические веса (6.105) можно ввести уже после проведения расчетов, умножив результаты на

Другим способом повышения точности оценки плотности потока частиц, движущихся в некотором направлении, является модификация дифференциального сечения рассеяния. Заменяя в (6.102) величиной 2, удовлетворяющей условию

и используя новое сечение для розыгрыша направления движения и энергии частицы после столкновения, можно добиться существенного увеличения вероятности попадания частицы в детектор. Статистический вес при этом

В частности, при вычислении обратного рассеяния от плоского слоя переход к изотропному закону рассеяния с использованием соответствующих весов уменьшает статистическую погрешность.

Общая идея перечисленных выше методов заключается в таком изменении процедуры моделирования, которое приводит к увеличению числа наиболее «ценных» траекторий, дающих наибольший вклад в вычисляемую величину. Для этого в процессе моделирования необходимо использовать различную информацию об относительной ценности траекторий. Например, в ряде случаев можно значительно уменьшить дисперсию, подставляя в формулы (6.97), (6.100) в качестве асимптотические решения сопряженных уравнений. Подобные модификации метода Монте-Карло называют моделированием по ценности.

Наличие статистических флуктуаций в результатах, полученных методом Монте-Карло, заставляет обратить особое внимание на те задачи, в которых требуется

вычислить разность величин, характеризующих распределение частиц в двух близких по размерам и свойствам поглотителях. Это может быть изменение поля излучения, вызванное заменой части вещества поглотителя близким по составу веществом, поправка к результатам вычислений вследствие уточнения сечений взаимодействия и т. п. Во многих случаях независимое решение обеих задач и последующее вычитание может оказаться неприемлемым, если статистические флуктуации величин соизмеримы с искомой величиной Для решения таких задач развит метод зависимых испытаний.

Рассмотрим разность случайных величин и Согласно элементарным правилам теории вероятностей, среднее значение этой разности равно а дисперсия где корреляционный момент случайных величин Для независимых величин В случае положительной корреляции между ними и дисперсия уменьшается.

Пусть распространение частиц в одной из рассматриваемых сред описывается уравнением

а в другой — уравнением

Для решения первого из уравнений можно использовать, например, аналоговый метод, моделируя траектории частиц с вероятностями и вычисляя вклад траектории средняя величина которого равна Для вычисления в методе зависимых испытаний используются те же самые траектории. Рассматривая их как смещенные траектории по отношению ко второй среде, запишем выражение для вклада этих траекторий в величину

в случае точечного источника

Вычисляя разность вкладов для каждой траектории, получаем

Рассмотрим случай, когда среды различаются лишь в некотором объеме Пусть рассеяние частицы произошло вне этого объема:

При определении координат следующего столкновения может оказаться, что: а) столкновение также произошло вне объема и частица не пересекла объем, тогда столкновение произошло вне объема но между столкновениями частица пересекла объем, тогда столкновение произошло в объеме тогда

Аналогично можно проанализировать и другой возможный вариант: когда столкновение произошло в объеме Из проведенного анализа, в частности, следует, что если частица ни разу не пересекла объем, и вклад ее в вычисляемую разность даже если частица попала в наблюдаемую область («детектор»). С уменьшением объема вероятность пересечения его частицей уменьшается, большая часть попадающих в детектор частиц дает нулевой вклад и эффективность метода зависимых испытаний падает.