§ 6.2. Моделирование траекторий частиц в однородной среде

Источник. Моделирование траектории начинается с розыгрыша ее начала, т. е. с определения координат точки рождения частицы направления ее движения и энергии Считая, что источник нормирован на единицу: запишем вероятность появления в элементе объема

а также условные вероятности попадания в

Перемножив (6.11) — (6.13), получим

т. е., выбрав последовательно из распределений

найдем совокупность случайных величин с распределением Если переменные в функции плотности источника разделяются:

то соответствуюпие случайные величины моделируются независимо друг от друга. Действительно, подставляя (6.15) в (6.14), получаем

Отметим, что координаты и направление движения частицы также представляют собой совокупности случайных величин: и для моделирования распределений можно использовать соотношения, аналогичные (6.14):

Пусть, например, изотропный источник частиц с энергией равномерно распределен в кубе с ребром а и центром в начале координат. Тогда в функции плотности источника переменные разделяются:

причем в декартовой системе разделяются и пространственные переменные Согласно (6.5), розыграш координат из этого распределения можно производить по формулам

где все I — независимые равномерно распределенные случайные числа.

Для розыгрыша направления заметим, что

распределены независимо и равномерно в интервалах соответственно. Поэтому для их розыгрыша можно использовать формулу (6.5):

Энергия в данном случае не является случайной величиной (она равна фиксированному значению и поэтому не разыгрывается.

Если источник равномерно распределен в шаре радиусом а, то декартовы переменные в функции уже не разделяются. В этом случае удобно перейти к сферическим координатам в которых

функция распределения для радиуса имеет вид и метод функции распределения дает для выборки алгоритм

Координатные углы находят по формулам аналогичным (6.20).

Длина свободного пробега. Согласно (1.1), распределение длины свободного пробега частицы с энергией в однородной среде имеет вид откуда Находя обратную функцию, получаем алгоритм для розыгрыша

Учитывая статистическую эквивалентность случайных величин и перепишем (6.23) в более простом виде:

Зная координаты точки рождения частицы, направление ее движения и длину свободного пробега, легко найти точку первого взаимодействия частицы со средой

или в проекциях:

Тип взаимодействия. Поскольку в процессе свободного движения частицы направление движения и энергия не меняются, состояние частицы в момент первого столкновения характеризуется параметрами При столкновении с вероятностью частица испытывает рассеяние («выживает»), а с вероятностью происходит поглощение (частица «гибнет»). Согласно (6.1),

поэтому для розыгрыша типа взаимодействия достаточно взять случайное число и сравнить его с вероятностью рассеяния (вероятностью выживания):

В случае поглощения траектория обрывается и начинается моделирование следующей траектории. В случае рассеяния переходят к розыгрышу направления и энергии частицы после рассеяния.

Рассеяние. В процессе рассеяния частица случайным образом меняет направление движения и энергию в соответствии с дифференциальным сечением рассеяния:

Согласно изложенному на с. 183—184, розыгрыш из этого распределения можно осуществить, выбирая сначала направление из распределения

а затем энергию из распределения

При выборке следует учесть, что сечение зависит от и симметрично по азимуту. Поэтому сначала следует разыграть углы рассеяния а потом перейти к углам определяющим направление V частицы после рассеяния, по известным формулам сферической тригонометрии:

Если энергия рассеянной частицы однозначно связана с углом рассеяния (как это имеет место в упругих соударениях), величину не разыгрывают, а находят по известным энергии и углу рассеяния

Иногда удобнее разыграть сначала энергию, а затем разыграть (или вычислить) угол рассеяния. Так поступают при моделировании комптоновского -рассеяния -квантов [99, с. 215].

Продолжение траектории. Разыгрывая длину пробега частицы после первого столкновения

находим точку

второго столкновения и т. д. Таким образом, формулы позволяют разыграть точку в фазовом пространстве по известной точке в соответствии с известными вероятностями элементарных процессов. Заменяя в этих формулах индекс 1 индексом а индекс 2 — индексом получаем алгоритм моделирования произвольного перехода последовательное использование которого позволяет продолжать моделирование траектории до тех пор, пока она не выйдет за пределы поглотителя или не испытает поглощения.