§ 4.8. Разложение по столкновениям

Важным методом анализа кинетического уравнения и получения численных результатов, особенно для малых расстояний от источника, является разложение по столкновениям [99, с. 53]. Это разложение имеет простой физический смысл. Разделим все частицы, приходящие в точку в некоторый момент, на. группы частиц, испытавших между рождением в источнике и попаданием в точку х определенное число столкновений Среди этих столкновений, очевидно, не было ни одного поглощения (иначе частица не попала бы в точку поэтому рассматриваемое разложение называют еще разложением по порядкам рассеяния, частицы с -нерассеянными, с однократно рассеянньши и т. п. Обозначая дифференциальную плотность потока нерассеянных частиц, плотность потока однократно рассеянных частиц и т. д. и объединяя в одну группу частицы, приходящие в точку x, получаем очевидное равенство

Разложение (4.102) удобно тем, что его слагаемые связаны друг с другом рекуррентным соотношением, позволяющим последовательно вычислять отдельные члены этого разложения и тем самым в некотором приближении получать значение плотности потока Покажем это на примере стационарной задачи с однородными граничными условиями. Согласно § 2.4, плотность потока нерассеянных частиц выражается через плотность распределения источников соотношением

Если теперь умножить левую и правую части равенства (4.103) на дифференциальное сечение рассеяния и проинтегрировать по угловым и энергетическим переменным, получим плотность распределения частиц, «возникающих» в процессе первого рассеяния:

Плотность потока однократно рассеянных частиц можно определить как характеристику нерассеянного излучения от источника с функцией плотности (4.104):

Подставив (4.104) в (4.105), получим

Приведенные здесь рассуждения справедливы и в общем случае. Взаимодействие -кратно рассеянных частиц с веществом создает источник частиц кратности рассеяния плотность потока нерассеянных частиц от которого совпадает с плотностью потока раз рассеянных частиц от источника с дифференциальной функцией плотности

Рекуррентное соотношение (4.107) вместе с разложением (4.102) позволяет в принципе решить задачу об определении поля излучения в среде. Процесс вычисления сводится к следующему. По формуле (4.103) вычисляют плотность потока нерассеянных частиц которую затем подставляют в формулу (4.106) для плотности потока однократно рассеянных частиц. Найдя и подставив ее в правую часть формулы (4.107), при находят плотность потока двукратно рассеянных частиц, и так до тех пор, пока слагаемые не станут пренебрежимо малыми. Такой метод расчета называется методом последовательных столкновений. Вследствие трудностей, связанных с интегрированием по и в (4.107), на практике обычно ограничиваются вычислением одного-двух членов этого ряда, хорошо представляющих лишь на малых расстояниях от источника.

Установим связь между полученным разложением и стационарным уравнением переноса (2.36). Для этого просуммируем обе части равенства (4.107) по от О до

прибавим к обеим частям слагаемое и учтем равенство (4.102):

Таким образом, разложение по столкновениям можно рассматривать как один из методов решения уравнения переноса.

Разложение по столкновениям можно получить непосредственно из уравнения (4.108) методом последовательных приближений, когда в качестве нулевого приближения выбран свободный член Первая поправка вычисляется заменой в интегральном члене на вторая — заменой на Нетрудно видеть, что при этом получится тот же ряд (4.102), называемый в теории интегральных уравнений рядом Неймана. Особенно просто получается этот ряд, если ввести интегральный оператор переноса

(операторы описаны в § 4.1, 4.2). Тогда уравнение (4.108) запишется в виде

Перенеся первое слагаемое правой части влево и подействовав затем на обе части оператором — получим

Поскольку оператор К связан с оператором Грина соотношением

Используя разложение функции оператора К в ряд (4.5), вместо (4.112) и (4.111) соответственно получим

и

Легко видеть, что выгекаюшее из (4.114) соотношение

равносильно соотношению] (4.107) и разложение по столкновениям получается как следствие разложения в ряд оператора в формуле (4.111).

Легко разложитьпо столкновениям и сопряженную функцию при этом

где

и

Очевиден физический смысл отдельных слагаемых в формуле (4.116): — средний вклад в показание детектора столкновения частицы, начинающей движение из точки фазового пространства (или средний вклад очередного столкновения частицы, испытавшей до этого рассеяний).