§ 4.18. Разложение по пересечениям

При решении задач переноса для поглотителей, состоящих из нескольких зон, могут быть полезными методы, основанные на разложении плотности потока по числу пересечений границы рассматриваемой области.

Рассмотрим поглотитель, состоящий из областей различных по составу, с границей раздела (рис. 4.4). Обозначим функции плотности источников в этих областях, а функцию Грина уравнения переноса в области с поглощающей границей Плотность потока излучения в области можно представить в виде разложения по числу пересечений границы

где плотность потока частиц, пересекавших границу раз. Очевидно, что нулевые члены этих разложений определяются только внутренними источниками:

Учитывая условия непрерывности (2.19) на границе можно выразить через на этой поверхности:

где внешняя нормаль к границе области

Рис. 4.4. К разложению потока по пересечениям

Аналогичные соотношения имеют место и для частиц, пересекавших границу

Поверхностный интеграл в (4.234) можно преобразовать в объемный. Тогда

где

Подставив (4.232), (4.235) в (4.231) и просуммировав запишем

где

— поверхностные псевдоисточники [55],

Перепишем (4.236) в операторной форме:

Используя систему уравнений (4.238), легко получить независимые уравнения для Ф:

Решения этих уравнений запишем в виде ряда Неймана:

Учитывая, что функции Грина отличны от нуля только в области вследствие чего последнюю формулу можно переписать в виде

Суммируя операторный ряд с помощью (4.5), получаем

Сравнивая (4.241) со стандартной формулой

видим, что

Формула (4.243) связывает оператор Грина для среды, состоящей из нескольких областей, с операторами Грина для отдельных зон.

Учитывая свойства обратного оператора перепишем (4.241) в виде

В качестве примера рассмотрим бесконечный поглотитель, разделенный плоской границей на две однородные области с различными свойствами. Если считать задачу плоской и исследовать поле только на границе, решение можно записать через известную в большинстве случаев характеристику — дифференциальное альбедо для полубесконечной среды.

Рис. 4.5. Влияние границы на энергетическое распределение квантов, прошедших слой алюминия толщиной распределение в бесконечной среде; - распределение на границе среда — вакуум в приближении -распределение на границе среда — вакуум, найденное по формуле (4.249) [27]

Действительно, используя определение дифференциального токового альбедо [2, 3], нетрудно показать, что

где интегральный оператор альбедо. Подставив (4.245) в (4.244) и обозначив дифференциальную плотность тока частиц, получим

откуда следует, что удовлетворяют системе интегральных уравнений:

Запишем формулы (4.246), (4.247) для случая, когда оба полупространства заполнены средой 1:

где прямого и обратного тока частиц в бесконечной однородной среде. Учитывая, что можно получить формулы для разностей характеризующих переходный эффект в прямом и обратном токе:

Если в правом полупространстве источников нет, и мы получаем ( Считая альбедо первого и второго слоев малым, разложим оператор в ряд и пренебрежем в получающихся формулах членами высшего порядка:

Из (4.250) видно, что возмущение плотности обратного тока больше, чем возмущение прямого. В зависимости от относительной величины альбедо первой и второй среды знак переходного эффекта может быть разным: если альбедо второго слоя больше, плотности

прямого и обратного токов на границе возрастают по сравнению с однородной первой средой, и наоборот. В связи с этим можно отметить, что эффект на границе среда — вакуум, вообще говоря, отличается от эффекта на границе среда — воздух. Эти эффекты могут различаться даже по знаку.

Легко видеть, что не зависит от того, какая среда находится в правом полупространстве, поэтому формулы (4.248), (4.249) можно рассматривать как соотношения, связывающие характеристики поля излучения в однородной бесконечной среде и поля на границе среда — вакуум [27].

На рис. 4.5 приведен пример, иллюстрирующий формулу (4.248) для плотности тока у-квантов плоского перпендикулярного источника с в алюминии. Из рисунка видно, что граничный эффект наиболее существен в низкоэнергетической части спектра, где поправка, обусловленная членом в формуле (4.249), можег быть значительной.

На рис. 4.6 приведено угловое распределение квантов, полученное с помощью формулы (4.249). Видно, что разность угловых распределений в бесконечной среде и на границе слабо зависит от 6 при Это связано с тем, что влияние границы в первую очередь сказывается на низкоэнергетической части спектра, угловое распределение которой близко к изотропному.

В заключение отметим, что разложение 410 пересечениям лежит в основе ряда численных методов теории переноса в ограниченных и неоднородных средах [55; 75, с. 138]. Разложение оператора Грина (4.243) использовалось в работе [81] для построения ряда теории возмущений.

Рис. 4.6. Влияние границ на угловое распределение квантов - распределение в бесконечной среде; распределение на границе среда — вакуум, найденное с помощью формулы (4.249) [27]