§ 3.11. Преобразование Лапласа по энергии

Запишем уравнение (3.109) для моноэнергетического источника с интегральным членом в форме (2.57) и, пренебрегая для простоты зависимостью сечений

от перейдем от к новой переменной :

Решение этого уравнения можно получить с помощью преобразования Лапласа по энергии:

Его можно рассматривать как разложение дифференциальной плотности потока по системе биортогональных функций (§ 3.1).

Подействуем на все члены уравнения (3.115) оператором В соответствии с (3.117) первый член преобразуется к виду Во втором члене необходимо изменить порядок интегрирования и в интеграле по сделать замену переменных Тогда он приведется к виду , где

— трансформанта Лапласа от дифференциального сечения рассеяния.

Правая часть уравнения (3.115) легко преобразуется, после чего получаем откуда

Подставляя (3.119) в (3.116), находим интересующую нас функцию :

Если сечение быстро убывает с ростом экспоненту в (3.118) можно разложить в ряд. Тогда где средние потери энергии на единице

длины пути. Подставим это разложение в (3.120) и сделаем замену переменных Тогда (3.120) перейдет в

Вычисляя интеграл с помощью вычетов и возвращаясь от переменной А к переменной получаем

Экспонента в формуле (3.121) есть вероятность того, что частица избежит поглощения на пути, где энергия меняется от до Если сечение поглощения равно нулю, то

Формула (3.122) имеет простой физический смысл. По определению есть средний путь, пройденный частицей за время, пока ее энергия меняется от до В приближении непрерывного замедления откуда что совпадает с (3.122).