§ 4.3. Инвариантность функций Грина относительно сдвигов во времени и пространстве

Если среда, в которой распространяется излучение, обладает некоторой симметрией, то функция Грина оказывается инвариантной относительно определенных преобразований аргументов, что позволяет установить ряд полезных соотношений для полей излучения в данной среде [31, с. 267; 36, с. 18].

Согласно § 4.2, функция Грина удовлетворяет уравнению

Преобразование переменных в общем случае изменяет вид функции Грина:

Сохранив для новых переменных прежние обозначения х и преобразование (4.30) можно рассматривать как результат действия на функцию Грина оператора преобразования Подействуем этим оператором на обе части уравнения (4.29): Пусть правая часть (4.29) инвариантна относительно преобразования 0, т. е.

а оператор преобразования коммутирует с оператором переноса: Если к тому же преобразование 9 не меняет начальных и граничных условий, то функция Грина оказывается инвариантной относительно данного преобразования.

Простейшим примером такого преобразования является сдвиг во времени:

Это изменение временных аргументов на одну и ту же величину эквивалентно изменению начала отсчета времени. Соответствующий оператор преобразования обозначим Результат его действия на некоторую функцию следует понимать как новую функцию которая получится, если в аргументах функции произвести замену переменных (4.32), а затем сменить обозначения:

Поскольку в правую часть уравнения (4.29) переменные входят в виде разности, преобразование не изменяет ее вида и условие (4.31) выполняется.

Легко показать, что оператор коммутирует с если свойства среды (сечения взаимодействия) не меняются со временем. Очевидно, преобразование не меняет начального условия для функции Грина. Предположив также, что граничные условия не меняются с течением времени, получим

т. е. функция Грина инвариантна относительно сдвига во времени. Согласно (4.33), формулу (4.34) можно переписать в виде

Полагая, в частности, вместо (4.35) получаем равенство

означающее, что в среде с постоянными во времени сечениями взаимодействия функция Грина зависит лишь от интервала времени между моментом испускания

частицы и моментом ее наблюдения но не от каждой из этих переменных в отдельности.

Если сечения взаимодействия не зависят от одной из декартовых координат, например от х, функция Грина оказывается инвариантной относительно сдвига в пространстве вдоль оси

(переменные, не меняющиеся в данном преобразовании, опущены). В плоской геометрии, когда сечения не зависят от функция Грина инвариантна и относительно сдвига по у, так что

Используя обозначения можно переписать в виде

Наконец, в бесконечной однородной среде, где сечения взаимодействия не зависят от пространственных координат:

Подобные результаты можно получить и при рассмотрении других преобразований (поворота в пространстве и т. п.).