§ 6.7. Дисперсия оценок

Приближенное значение какой-либо характеристики поля излучения, вычисляемое как выборочное среднее функционала (6.61): где число построенных траекторий, является случайной величиной. Проводя повторные вычисления этой величины с тем же числом траекторий получим различные значения так как фазовые координаты точек столкновения в каждой серии траекторий различны. Разность между искомым средним значением и выборочным средним представляет собой статистическую погрешность расчета.

Если дисперсия вклада отдельной траектории конечна, то для независимых траекторий

а относительная статистическая погрешность определяется как

где характеристика одной траектории, не зависящая от Из формулы (6.84) видно, что с увеличением числа построенных траекторий относитьная статистическая погрешность убывает как Погрешность результата расчета можно определить по тем же траекториям, что и среднее значение, воспользовавшись оценкой дисперсии

и подставив затем (6.85) в (6.84). Метод вычисления статистической погрешности в случае бесконечной дисперсии (локальная оценка) описан в работе [97].

Распределение вклада траектории и его моменты, определяющие статистическую погрешность оценки, можно исследовать методами, изложенными в гл. 5. Как и в § 6.6, будем предполагать, что точка первого столкновения случайна с плотностью вероятности а вероятность

перехода описывается функцией Тогда вероятность поглощения

Распределение траекторий по значению вычисляемого на них функционала (6.61) обозначим Формула полной вероятности для имеет вид

где распределение по для траекторий с фиксированным значением координаты первого столкновения. Вид уравнения для функции зависит от типа функционала, вычисляемого на траекториях. Будем считать, что он является функционалом рекуррентного типа (6.68), (6.69).

На траекториях с фиксированным х величина является случайной, потому что случайно значение Плотности распределения случайных величин связаны соотношением

Обозначим для краткости

и запишем для распределения формулу полной вероятности, учитывая, что с вероятностью траектория в точке обрывается, а с вероятностью продолжается до точки х. Согласно (6.69), в первом случае во втором случае если Поэтому

По аналогии с (6.88)

и для получается интегральное уравнение

Моменты случайной величины можно найти, подставляя (6.88) в (6.87), умножая результат на и интегрируя по

моменты распределения Последние, в свою очередь, можно получить, умножив все члены уравнения (6.90) на и проинтегрировав по В частности для первого и второго условных моментов имеем

Формула (6.91) при и уравнение (6.92), естественно, совпадают с (6.76), (6.74). При выполнении условий несмещенности оценки а выражения для второго момента имеют вид [30, с. 271; 32]:

Выбирая разные вероятности можно добиться значительного уменьшения дисперсии оценки

Покажем, что подходящим выбором дисперсию оценки можно уменьшить в принципе до нуля [30, с. 293; 72, с. 64]. Выберем переходную вероятность в виде

Подставляя (6.97) в (6.95) и учитывая (6.82), (6.92), получаем

Непосредственной проверкой можно убедиться, что решением этого уравнения является квадрат среднего:

Выбрав плотность первых столкновений в виде

И подставив (6.99), (6.100) в (6.96), получим

Конечно, на практике реализовать такую схему невозможно, так как для этого нужно знать сопряженную функцию (ценность) Однако даже приближенные сведения об этой функции, используемые в формулах (6.97), (6.100), могут в значительной степени уменьшить дисперсию [67].