§ 3.16. Радиальное распределение электронов от точечного мононаправленного источника

Уравнение переноса. Рассмотрим кинетическое уравнё-ние, описывающее распространение частиц от точечного мононаправленного источника, находящегося в начале координат и испускающего частицы с энергией в направлении оси

При расчете цолей электронов часто предполагают, что упругое рассеяние не сопровождается потерями энергии, а неупругое рассеяние учитывается в приближении непрерывного замедления (§ 2.7). В этом случае уравнение переноса принимает вид

где потери энергии на единице длины пути (1.8); — сечение упругого рассеяния. В приближении непрерывного замедления путь пройденный частицей, и ее энергия связаны соотношением

поэтому в уравнении (3.177) удобно сделать замену переменных (3.178). После простых вычислений получим

где

Рассеяние электронов, дифференциальное сечение которого описывается формулой Резерфорда, происходит преимущественно вперед, поэтому для решения уравнения (3.179) можно использовать приближение малы)? углов (§ 2.8). Вместо радиус-вектора точки наблюдения будем в дальнейшем указывать координату этой точки и

поперечное смещение Отметим также, что в приближении малых углов проекции вектора выражаются через проекции вектора Поэтому и кинетическое уравнение принимает вид

В приближении малых углов путь пройденный частицей, почти не отличается от глубины проникновения поэтому решение уравнения (3.180) можно искать в виде

Подставив (3.181) в (3.180), получим уравнение для определения функции

При всех уравнение (3.182) является однородным. Точка соответствует электронам, испускаемым источником, поэтому

Решение уравнения переноса [77]. В приближении малых углов пределами угла многократного рассеяния являются (см. § 2.8) и для решения уравнения (3.182) удобно использовать преобразование Фурье на плоскости по переменным

Подействуем на уравнение (3.182) оператором После интегрирования по частям второго члена в левой части уравнения (3.182), использования очевидного соотношения а а также изменения порядка интегрирования в

интегральном члене (3.182) получим для трансформанты уравнение

где

Отметим, что А зависит только от модуля вектора Действительно, переходя в интеграле (3.187) в полярную систему координат и используя соотношения

где функция Бесселя нулевого порядка, находим

Уравнение (3.186) заменой переменных легко сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка

решением которого является

Возвращаясь к переменным получаем

Наконец, подставив (3.192) в интеграл (3.184), найдем решение уравнения (3.182):

Отметим, что из формулы (3.193) можно получить распределение типа Ферми [116]. Для этого в интеграле (3.189) необходимо разложить разность в ряд по

пеням и ограничиться первым членом разложения:

Подставив (3.194) в (3.189), (3.193) и проинтегрировав по переменным получим

где средний квадрат угла рассеяния [см. (2.63)]:

Одномерные распределения. Интегрированием распределения (3.193) по с использованием соотношений (3.188), (3.189) и интегрального представления -функции

можно получить формулу для углового распределения электронов от плоского перпендикулярного источника:

При малых когда потерями энергии можно пренебречь, и (3.197) переходит в формулу теории Мольера (§ 3.14):

Интегрирование формулы (3.193) по с учетом соотношений (3.188), (3.189), (3.196) дает радиальное распределение электронов от точечного мононаправленного источника:

В выражении тангенс угла между осью пучка и радиус-вектором, проведенным в точку наблюдения.

Преобразование радиального распределения к виду, удобному для численных расчетов. Формула (3.199) в принципе представляет собой решение поставленной задачи. Однако практические вычисления по ней затруднительны. Преобразуем ее следующим образом. Функция для сечения описываемого формулой Резерфорда, вычислена в § 3.14, где исследуется угловое распределение электронов от плоского перпендикулярного источника:

Подставив (3.200) в (3.199), получим

где

Далее, вводя параметр определяемый решением трансцендентного уравнения и переходя к новым переменным преобразуем (3.201) к виду

где

что совпадает с (3.157), (3.158).

Таким образом, в приближении малых углов радиальное распределение электронов от точечного мононаправленного источника и угловое распределение электронов от плоского перпендикулярного источника выражаются через одну и ту же универсальную функцию [39].

Параметры Во, близки и обычно изменяются в пределах от 5 до 20. При этих условиях, как показано в [112], функцию можно разложить в ряд по степеням и при любых В с погрешностью до ограничиться тремя первыми членами:

где

Таким образом, функция двух переменных с точностью, достаточной для практических вычислений, представляется через функции одной переменной

Асимптотики. Сравнение с результатами, полученными в приближении Фоккера-Планка. В области значений в разложении (3.204) преобладает первый член: т. е. распределение (3.202) близко к нормальному:

Интегрируя формулу (3.195) по переменным нетрудно убедиться, что радиальное распределение в приближении Фоккера-Планка также является гауссовым:

Однако формула (3.205) не переходит в распределение типа распределения Ферми при малых потому что полуширина распределений (3.205) и (3.206) различна. Это различие существенно для всех значений при которых справедливо уравнение переноса (3.182). Ниже приведены отношения полуширин распределений (3.205) и (3.206) (медь; среднее число упругих взаимодействий, испытанных электроном на пути длина полного пробега).

Рис. 3.1. Радиальное распределение электронов (медь, гистограмма — расчет методом Монте-Карло (8000 историй); 1 — распределение (3.202); 2 — распределение (3.206) [77]

Рис. 3.2. Радиальное распределение электронов (алюминий, гистограмма — расчет методом Монте-Карло (8000 историй); 1 — распределение (3.202) в приближении непрерывного замедления; 2 — распределение (3.202) в приближении постоянных сечений

Расчеты, выполненные методом Монте-Карло, показали, что распределение (3.206) непригодно для описания радиального распределения потока электронов, тогда как формула (3.205) правильно описывает это распределение при малых I (рис. 3.1, 3.2) [77].

Для вычисления распределения в области больших удобно воспользоваться асимптотической формулой

которая получена в [112] для углового распределения В частности, при 1 3 отличие формулы (3.207) от точного распределения (3.202) не превышает 10%.

В области малых при вычислении распределения (3.202) можно ограничиться приближением постоянных сечений, т. е. положить этом случае формулы для существенно упрои;аются:

Область применимости полученного распределения. Как отмечалось выше, при выводе формулы (3.202) использованы приближение непрерывного замедления и приближение малых углов. Приближение непрерывного замедления применимо для поэтому основное ограничение на область применимости (3.202) накладывает приближение малых углов. В этом приближении путь пройденный электроном в веществе, равен глубине проникновения Поэтому область применимости радиального распределения (3.20) дпределяется значениями

Сравнение с точными расчетами методом Монте-Карло показывает, что формула (3.202) справедлива для Так, для легких веществ эта формула применима При формула (3.202) справедлива

В силу ряда приближений, сделанных в работах [112, 122] при вычислении трансформанты радиальное распределение (3.202), как и распределение Мольера, применимо для большего 20 средних длин пробега электронов между упругими взаимодействиями.