§ 2.3. Граничные условия

Решение кинетических уравнений (2.7), (2.13) является весьма сложной математической задачей даже в простейшем случае бесконечной и однородной среды. Однако бесконечная и однородная среда — лишь приближенная модель реального поглотителя, который всегда ограничен и почти

всегда неоднороден. Но именно такой случай представляет практический интерес при решении задач, связанных с применением ядерных излучений в теории реакторов, в физике защиты и дозиметрии, радиационной физике и т. п.

Наличие границ и других неоднородностей значительно усложняет решение кинетических уравнений. В неоднородной среде сечения взаимодействия и зависят от пространственной переменной и эти уравнения принимают вид:

Часто бывает удобным решать уравнения (2.16), (2.17) не во всем пространстве, а в некоторой его области, границы которой совпадают, например, с естественными границами рассматриваемой системы или ее части. Особенно это удобно, если поглотитель состоит из нескольких однородных частей, отличающихся друг от друга сечениями взаимодействий. Тогда уравнения (2.16), (2.17) можно решать в каждой области отдельно, используя для этого методы решения задачи в однородной среде. Поскольку уравнения переноса интегро-дифференциальные, каждое из найденных решений будет содержать постоянные интегрирования (зависящие от Для их определения служат граничные условия

Рассмотрим поток частиц с направлением и энергией вблизи границы между областями 1 и 2. Выделим на граничной поверхности элементарную площадку и построим около нее элементарный цилиндр с высотой и образующей, параллельной (рис. 2.1). Проинтегрируем уравнение (2.16) по объему этого цилиндра и преобразуем градиентный член по теореме Остроградского — Гаусса:

На боковой поверхности цилиндра и интеграл по замкнутой поверхности сводится к сумме интегралов

где первое и второе основания цилиндра; нормали к этим площадкам; значения плотности потока на соответствующих основаниях цилиндра. Устремляя теперь к нулю и учитывая, что в силу ограниченности и интегралы по объему обращаются в нуль, получаем

где нормаль к границе раздела сред.

Рис. 2.1. К выводу граничных условий

Если источники распределены в объеме непрерывно, правая часть равенства (2.18) равна нулю. Тогда ввиду произвольности находим, что

Граничное условие (2.19) имеет ясный физический смысл: число частиц с параметрами , падающих на любую площадку поверхности раздела с одной стороны, равно числу таких же частиц, выходящих через эту площадку с другой стороны поверхности раздела.

Если на границе раздела двух сред имеется поверхностный источник с поверхностной плотностью т. е. то и граничное условие примет вид

(функция на границе терпит разрыв).

Важную роль в расчетах играет внешняя граница области — невогнутая замкнутая поверхность, ограничивающая ту часть пространства, в которой необходимо найти

поле излучения. Если все источники и поглотитель находятся внутри этой области и на ее поверхность извне частицы не попадают, при то границу области называют свободной.

Из (2.19) и (2.20) следует, что дифференциальная плотность потока на такой поверхности удовлетворяет условиям:

если поверхностные источники отсутствуют, и

если на границе имеется поверхностный источник с плотностью а.

Аналогичное преобразование сопряженного уравнения (2.17) приводит к граничному условию

которое на свободной поверхности, ограничивающей систему поглотитель—детектор, принимает вид

Условие (2.24) означает, что частицы, испускаемые со свободной границы в направлениях дают нулевой вклад в показания детектора.