§ 7.3. Флуктуации потерь энергии в далеких столкновениях

При расчетах переноса электронов в модели отрезков потери энергии в ионизационных и радиационных столкновениях разыгрываются из распределений Ландау [56] и Бете-Гайтлера [85, с. 78] соответственно. При выводе этих распределений учитывались столкновения со всеми возможными передачами энергии. Выделение и непосредственное моделирование взаимодействий с большими передачами энергии, которое производится в модели катастрофических столкновений, делает эти распределения несправедливыми. Поэтому в модели катастрофических столкновений потери энергии электронов на отрезках вложенной траектории обычно учитываются в приближении непрерывного замедления. В рассматриваемой схеме флуктуации потерь энергии в далеких столкновениях учитываются более точным решением уравнения (7.5):

Решение уравнения переноса. Сечения 2, в уравнении (7.38) слабо зависят от энергии налетающей частицы [см. Приложение, формулы и и при малых когда вероятность потерь энергии сравнимых с полной энергией незначительна, эти сечения можно

заменить их значениями в точке В результате получим

В приближении постоянных сечений, в котором выведена формула (7.39), потери энергии в ионизационных и радиационных взаимодействиях статистически независимы. Поэтому распределение согласно формуле для распределения суммы независимых случайных величин, можно представить в виде

где функции удовлетворяют уравнениям:

и описывают распределения потерь энергии в ионизационных и радиационных взаимодействиях соответственно.

Для электронов с энергией потери энергии в далеких радиационных взаимодействиях незначительны по сравнению с полными потерями на тормозное излучение (табл. 7.1), поэтому их можно учитывать в приближении непрерывного замедления, т. е. использовать распределение

где средние потери энергии на единице длины пути в далеких радиационных взаимодействиях.

Таблица 7.1 (см. скан) Потери энергии в далеких взаимодействиях при

Для ионизационных взаимодействий большая часть энергии теряется именно за счет далеких столкновений (см. табл. 7.1) и флуктуации в этих потерях существенны. Поэтому решение уравнения (7.41) необходимо произвести более последовательно.

Уравнение (7.41) по форме совпадает с основным уравнением, приведенным в работе [12], в которой обсуждаются флуктуации потерь энергии тяжелых заряженных частиц. Поэтому для решения этого уравнения удобно использовать преобразование Лапласа по переменной которое приводит к формуле (3.168) с

Преобразование полученного распределения к виду, удобному для моделирования. Трудность моделирования распределения состоит в том, что оно зависит от сравнительно большого числа параметров: энергии длины пути I и атомного номера Поэтому выборка величины А даже при заданном требует хранения в оперативной памяти ЭВМ трехмерных таблиц. Число переменных можно сократить. Для этого перепишем трансформанту в виде

где средние потери энергии на единице длины пути в далеких ионизационных взаимодействиях.

По аналогии с [12] можно показать, что при где — энергия связи атомного электрона, область дает малый вклад в значение интеграла (7.44). Поэтому в качестве в этом интеграле можно использовать формулу Приложения, которая справедлива для рассеяния на свободных электронах. Это дает

Отметим, что для веществ с большим указанное условие не выполняется и необходимо учитывать флуктуации потерь энергии, обусловленные резонансным взаимодействием с электронами внутренних оболочек атомов.

Подставляя (7.45) в (3.168) и переходя к новым переменным получаем окончательное выражение для распределения [77, 78]:

где

В отличие от исходного распределения (7.46) характеризуется двумя независимыми переменными и Это позволяет существенно сократить объем таблиц, необходимых для выборки потерь А.

При больших 11, когда в интеграле существенны малые значения и распределение стремится к нормальному:

При малых 11, когда в интеграле существенны большие и распределение (7.46) переходит в распределение Ландау (3.175).

Графики интегрального распределения, которые используют при моделировании А, приведены на рис. 7.1, 7.2.

Рис. 7.1. Распределение -расчет по формуле [77]

Рис. 7.2. Распределение Я): 1 — расчет по формуле [77]

Зависимость сечения от энергии налетающих электронов, которая не учитывалась при выводе распределения можно учесть приближенно. Для этого параметры и входящие в (7.46), необходимо подсчитывать по формулам

где зависимость определяется соотношением (7.14). Включение в расчетную схему флуктуаций потерь энергии в далеких столкновениях позволяет увеличить длину отрезков вложенной траектории и тем самым ускорить счет. В частности, для легких веществ учет этих флуктуаций сокращает время вычислений в 2—3 раза.