§ 5.4. Моменты распределения P(Q)

Используя выражение (5.20), можно найти формулы для вычисления моментов распределения Ограничимся отысканием двух первых моментов:

Умножим (5.20) на и проинтегрируем по с учетом свойств -функции:

Легко видеть, что

где средний вклад в показания детектора частицы, вылетающей из точки х в момент Подставив (5.31) в (5.30), получим

что, согласно § 5.1, можно записать в виде

Из физического смысла функции и формул (5.32), (1.35) видно, что

Умножая (5.22) на интегрируя по от О до и учитывая, что

получаем сопряженное уравнение

с обычными граничными условиями.

Для отыскания второго момента умножим (5.20) на и проинтегрируем по

Представляя квадрат суммы в виде

и преобразуя первое слагаемое описанным выше способом, получаем

где

Во втором слагаемом

Подставляя (5.39) в (5.38) и пользуясь обозначениями, принятыми в § 5.1, получаем

где

— среднее число пар частиц, таких, что одна из них испускается источником в элементе фазового объема и интервале времени а другая — в элементе и интервале . Функцию называют плотностью произведения вероятностей [83, с. 446] или плотностью второго факториального момента [57]. Таким образом, согласно (5.36), (5.37) и (5.40), второй момент показаний детектора имеет вид

Для вывода уравнения, описывающего второй условный момент умножим (5.22) на и проинтегрируем по Учитывая, что

получаем

где

а — интегральный оператор, определяемый соотношением

Аналогично выводятся выражения для высших моментов распределения и уравнения для высших условных моментов [50].

Тождество (5.33) позволяет переписать формулу (5.32) в виде

и преобразовать выражение (5.42). Согласно поэтому

Подставив (5.44) в (5.47), получим второй момент (5.36) в виде

где билинейный функционал от сопряженной функции. Формулы (5.46) — (5.48 выражают важнейшую вероятностную характеристику показаний детектора — дисперсию — через дифференциальную плотность потока и сопряженную функцию

Для рассмотренного в § 5.1 источника независимых частиц имеет место равенство (5.3), подставляя которое в (5.41), можно получить

Для пуассоновского распределения

и, подставляя (5.51) в (5.50) с учетом (5.4), получаем т. е. плотность произведения вероятностей для источника независимых частиц равна произведению значений плотности источника при соответствующих аргументах. Отсюда, частности, следует, что и формула (5.49) для дисперсии показаний детектора упрощается:

Если в чувствительном объеме детектора Оили детектор реагирует только на процессы поглощения то рмула (5.52) имеет вид

в этом случае для вычисления флуктуаций показаний детектора надо знать только дифференциальную плотность потока. Если при этогкаждый акт поглощения вызывает единичный сигнал, то где характеристическая функция детектора, равная 1 в объеме детектора и О вне его, а дисперсия

равна числу актов поглощения в объеме детектора. Этот результат легко понять, учитывая, что каждая испущенная источником частица может поглотиться либо в объеме детектора, либо вне его объема. Поскольку источник имеет пуассоновское распределение, а случайная выборка из этого распределения также приводит к распределению Пуассона, дисперсия числа актов поглощения равна их среднему значению, что и показывает формула (5.54).