§ 3.9. Фундаментальное решение односкоростного уравнения

Решение уравнения (3.90) с правой частью, описывающей плоский направленный источник:

называют фундаментальным решением или функцией Грина. Интегрируя обе части этого уравнения по в пределах от — 8 до и устремляя к нулю, получаем

т. е. фундаментальное решение имеет разрыв в точке обусловленный наличием плоского источника.

Будем искать решение уравнения (3.103) в виде разложения по элементарным решениям соответствующего однородного уравнения. Опуская слагаемые, неограниченно возрастающие при имеем

где знак перед коэффициентами разложения выбран из соображений удобства. Устремляя в к нулю и подставляя получающиеся выражения в (3 104) находим уравнение для отыскания коэффициентов разложения:

Умножая обе части этого соотношения на интегрируя по и используя условия ортогональности (3.102), получаем коэффициент Аналогично определяются и коэффициенты

следовательно, фундаментальное решение имеет вид

Рассмотрим асимптотическое поведение фундаментального решения (3.107) при Поскольку асимптотическое поведение определяется первым слагаемым выражения (3.107):

Обозначим тогда уравнение (3.96) примет вид откуда видно, что х зависит лишь от вероятности выживания частицы при столкновении Результаты численного решения этого уравнения приведены в работе [36, с. 81]. При изменении от 0 до 1 X уменьшается от 1 до О (соответственно возрастает от 1 до

Нормировочный интеграл можно вычислить методом дифференцирования по параметру.

Для этого рассмотрим вспомогательную функцию которая, согласно (3.96), при равна 1. Дифференцируя эту функцию по V и полагая затем получаем тождество Умножая на находим искомый коэффициент После подстановки этой

величины в асимптотическое выражение замены на можем записать

Найденная формула показывает, что анизотропия углового распределения на большом расстоянии от источника тем больше, чем больше х, т. е. чем меньше — вероятность рассеяния при столкновении. Увеличение вероятности поглощения приводит к увеличению анизотропии. Качественное объяснение этого факта состоит в том, что частицы, движущиеся в точке «назад» , прошли в основном больший путь, чем частицы, движущиеся «вперед», и имели большую вероятность поглотиться. В отсутствие поглощения и поток является изотропным. От направления испускания частиц источником зависит лишь плотность потока, угловое распределение от не зависит: вследствие большого пройденного пути частицы «забыли», в каком направлении они были испущены.

Пространственная зависимость плотности потока дается функцией которая убывает тем быстрее, чем больше вероятность поглощения при столкновении.

Приведенный метод решения кинетического уравнения, предложенный Кейзом, можно обобщить на случай анизотропного рассеяния и других геометрий [18, с. 109; 54]. Однако, обладая большой общностью, этот метод в ряде конкретных задач более громоздок, чем другие методы, разработанные специально для этих задач с учетом их -бенностей.