§ 7.6. Моделирование случайных элементов траектории

Моделирование длины пробега. Распределение длины пробега I между катастрофическими столкновениями имеет вид

где

полное сечение катастрофических столкновений; зависимость определяется соотношением и представляет собой среднюю энергию

электронов, прошедших путь I и не испытавших ни одного катастрофического столкновения; энергия электрона в начале отрезка.

Из (7.78) следует, что по формуле где I — случайное число, равномерно распределенное на интервале можно разыграть оптическую длину пробега электрона

Соотношение (7.79) позволяет по известному значению найти I и среднюю энергию Для этого необходимо иметь таблицы функций Действительно, интерполяцией зависимостей с использованием формулы можно определить энергию Далее, интерполяцией зависимости по формуле можно найти

В рассматриваемой расчетной схеме длина отрезков вложенной траектории не должна превышать предельного значения определяемого границами применимости распределений теории многократного рассеяния. Поэтому, если длину очередного отрезка вложенной траектории полагают равной В противном случае длину отрезка полагают равной I и следующий шаг по траектории делают от этой точки.

Легко показать, что такой способ выбора длины отрезка эквивалентен разбиению длины пробега I на меньшие части длиной В то же время этот способ позволяет использовать для розыгрыша I формулу (7.78), которая основана на приближении непрерывного замедления и для больших пробегов I вследствие возрастания роли флуктуаций потери энергии неприменима.

Численный анализ показал, что предельное значение длины отрезков изменяется от длины остаточного пробега для самых легких веществ до длины остаточного пробега для самых тяжелых веществ. При малых основное ограничение на длину отрезков накладывают приближение постоянных сечений, которое было использовано при выводе формул для распределения потерь энергии, и приближение непрерывного замедления, которое

использовалось при отыскании углового и пространственного распределений. В области больших длина отрезков ограничивается приближением Фоккера-Планка, в котором рассчитывалось пространственное распределение.

Моделирование многократного рассеяния. После определения длины отрезка разыгрывают фазовые координаты очередного узла вложенной траектории.

Косинус угла многократного рассеяния на отрезке разыгрывают из распределения (7.48) методом функций распределения (численно). Азимутальный угол вектора распределен равномерно.

Продольное смещение электронов разыгрывают методом функций распределения (численно) из (7.65) с поправкой на точный момент (7.76). Распределение поперечных смещений (7.73) является нормальным.

Потери энергии электрона на пути I определяются как сумма потерь на ионизацию и тормозное излучение. Ионизационные потери разыгрывают методом функций распределения (численно) из (7.46). Потери на излучение в соответствии с (7.43) подсчитывают по формуле

Моделирование катастрофических столкновений. Розыгрыш энергии переданной вторичному электрону или -кванту при катастрофическом столкновении, можно осуществить методом отказов из формул Меллера и Бете-Гайтлера с поправками, которые даны в Приложении [формулы и соответственно]. Алгоритмы выборок приведены на рис. 7.4 и 7.5.

Изменением направления движения электронов при тормозном катастрофическом столкновении обычно пренебрегают. Косинусы полярных углов рассеяния первичной и вторичной частиц при электрон-электронном столкновении подсчитывают по формулам

где энергия налетающей частицы. Азимутальные углы рассеяния распределены равномерно и связаны соотношением , так как направления движения первичного и вторичного электронов лежат в одной плоскости.

Образование вторичных частиц в катастрофических столкновениях приводит к ветвлению траекторий. Расчет и обработку таких траекторий удобно проводить

лексико-графическим методом [69, с. 103]. В этом случае после каждого катастрофического столкновения координаты частицы с большей энергией запоминаются, а траектория частицы с меньшей энергией прослеживается. Как только энергия этой частицы становится меньше порогового значения Ей данная ветвь траектории обрывается и начинается построение одной из запомненных ранее ветвей. Моделирование траектории считается законченным, если построены и обработаны все ее ветви.

Рис. 7.4. Розыгрыш энергии вторичного электрона

В заключение отметим, что при моделировании траектории электронов в неоднородной среде удобно фиксировать фазовые координаты х точки пересечения границы раздела двух сред и следующий шаг по траектории делать от точки х. В схемах группировки столкновений х определяют интерполяцией по двум соседним узлам вложенной

траектории, которые расположены по разные стороны от границы и построены в однородной среде. Для этого можно использовать формулы, аналогичные (7.50):

Рис. 7.5. Розыгрыш энергии -кванта

При малых I формулы (7.80) обеспечивают правильную зависимость основных моментов распределения от длины пройденного пути. Доказать это утверждение можно так же, как для формулы (7.54).