§ 4.9. Поле вблизи точечного источника

Рассмотрим угловое распределение частиц на малом расстоянии от точечного изотропного источника, помещенного в однородную среду с изотропным рассеянием. Ограничившись приближением постоянных сечений, перепишем формулу (4.107) в виде

Совместим начало координат с источником. Вследствие очевидной симметрии плотность потока будет зависеть лишь от расстояния до источника и угла между радиус-вектором и вектором направления й. Плотность источников, стоящую в правой части выражения (4.120), можно привести к виду

Подставив (4.121) в (4.120) и проинтегрировав, получим плотность потока нерассеянных частиц

Множитель указывает на то, что в каждой точке пространства нерассеянные частицы летят в строго определенном направлении, совпадающем с направлением радиус-вектора, проведенного в эту точку. Экспонента учитывает убывание плотности потока этих частиц из-за поглощения и рассеяния. Множитель описывает геометрическое ослабление плотности потока, которое имеет место и в отсутствие взаимодействий

Рис. 4.1. к расчету поля излучения вблизи точечного источника

Интегрирование (4.122) по направлениям дает Сравнивая найденное выражение с результатом, полученным в § 3.6, видим, что на малых расстояниях от точечного источника диффузионное приближение действительно непригодно.

Подставляя (4.122) и в выражение (4.119) при получаем плотность потока однократно рассеянных частиц:

Верхний предел этого несобственного интеграла заменим величиной которую после интегрирования устремим к бесконечности. Перейдем к новой переменной ; (рис. 4.1). Из теоремы синусов следует, что

Подставляя (4.124) в (4.123), получаем

где

На малом расстоянии от источника подынтегральную экспоненту можно разложить в ряд, ограничившись двумя членами. Интегрирование этих членов дает После подстановки сюда выражения (4.126) получаем

Пренебрегая последним слагаемым, быстрее других стремящимся к нулю при О, и устремляя затем к бесконечности, для однократно рассеянных частиц находим

Отметим, что по мере приближения к источнику первый член в (4.127) становится преобладающим.

Для расчета двукратно рассеянных частиц подставим в (4.119) основной член выражения (4.127), положив в нем Интегрируя по углу, получаем Используя формулы (4.124) и разлагая экспоненту в ряд, а также пренебрегая членами, не имеющими особенностей (которые при не стремятся к бесконечности), находим для двукратно рассеянных частиц, что Поскольку мало, это выражение можно переписать в эквивалентном виде

Сравнение (4.122), (4.127) и (4.128) показывает, что при на малом расстоянии от источника разложение по порядкам рассеяния сходится очень быстро. Это обстоятельство часто используется для уточнения результатов, полученных другими приближенными методами [76].