§ 3.15. Распределение Ландау

Найдем распределение по энергии частиц, прошедших путь Это распределение описывается уравнением [см. (2.81)]:

Так же как и в § 3.11, от переменной перейдем к переменной обозначив распределение частиц по потерям энергии на пути Уравнение для функции имеет вид

где дифференциальное по переданной энергии сечение рассеяния. Для простоты будем считать, что сечения не зависят от энергии частиц. Тогда кинетическое уравнение упрощается:

Решение уравнения (3.163) будем искать с помощью преобразования Лапласа по переменной А:

Уравнение для трансформанты получается действием на все члены уравнения (3.163) оператором

где

Аналогично находится начальное условие

Решение уравнения (3.165) с начальным условием (3.167) имеет вид Подставив это решение в формулу (3.164), найдем искомое распределение

Для качественного анализа полученного результата предположим, что дифференциальное сечение рассеяния быстро убывает с увеличением Тогда в формуле (3.166) экспоненту можно разложить в ряд: что приведет к разложению

где сечение рассеяния; потери энергии на единице длины пути (1.8); средний квадрат потерь энергии на единице длины пути.

Если в разложении (3.169) удержать только два первых члена, то интегрирование в (3.168) с помощью замены переменных приведет к выражению

Первый множитель в этой формуле описывает поглощение частиц на пути а второй говорит о том, что потеря энергии А и путь пройденный частицей, однозначно связаны соотношением соответствующим непрерывному замедлению.

Если в разложении (3.169) учесть и третий член, равный то формула (3.168) после замены переменных примет вид

Отсюда, используя соотношение (3.142), получаем

т. е. в этом приближении распределение частиц по потерям энергии является гауссовым и полуширина распределения пропорциональна

Более подробно распределение (3.168) для заряженных частиц исследовал Л. Д. Ландау [56]. В этом случае дифференциальное сечение при больших имеет вид

Положив сечение поглощения равным нулю, записав полное сечение в виде и использовав формулу (3.166), перепишем в виде

Область интегрирования в этой формуле разобьем на два интервала: и выбрав в качестве такое значение переданной Энергии, чтобы в интервале экспоненту можно было разложить в ряд: В то же время должно быть больше энергии связи электронов в атоме. Тогда в интервале в качестве можно использовать формулу Резерфорда (3.171), которая описывает потери энергии при столкновениях с атомными электронами, если связью этих электронов с ядром можно пренебречь. С учетом этих замечаний формула (3.172) примет вид

Интеграл представляющий собой удельные потери энергии за счет столкновений с малой передачей энергии равен где — ионизационный потенциал атома [56].

Интеграл во втором члене формулы (3.173) после замены переменных и двойного интегрирования по частям примет вид

Как указывалось выше, мало, поэтому выражение в фигурных скобках можно разложить в ряд. Удержав члены, не обращающиеся в нуль при получим где постоянная Эйлера. Таким образом,

Преобразуем показатель экспоненты под знаком интеграла, раскрыв скобки и перегруппировав члены:

Далее запишем

Тогда выражение (3.174) примет вид

где

Следовательно,

где Таким образом, распределение электронов, прошедших путь по потерям энергии выражается через универсальную функцию

Уравнение (3.163), решением которого является распределение (3.175), записано в предположении, что изменением сечения взаимодействия с изменением энергии электрона можно пренебречь. Более точный результат получен и обсуждается в работе [84].