§ 67. Энергия магнитного поля

Рассмотрим цепь, изображенную на рис. 67.1. При замкнутом ключе в соленоиде установится ток , который обусловит магнитное поле, сцепленное с витками соленоида. Если разомкнуть ключ, то через сопротивление R будет некоторое время течь постепенно убывающий ток, поддерживаемый возникающей в соленоиде э. д. с. самоиндукции. Работа, совершаемая этим током за время равна

Если индуктивность соленоида не зависит от ), то и выражение (67.1) принимает вид

Проинтегрировав это выражение по в пределах от первоначального значения I до нуля, получим работу, совершаемую в цепи за все время, в течение которого происходит исчезновение магнитного поля,

Работа (67.3) идет на приращение внутренней энергии сопротивления R, соленоида и соединительных проводов (т. е. на их нагревание). Совершение этой работы сопровождается исчезновением магнитного поля, которое первоначально существовало в окружающем соленоид пространстве. Поскольку никаких других изменений в окружающих электрическую цепь телах не происходит, остается заключить, что магнитное поле является носителем энергии, за счет которой и совершается работа (67.3). Таким образом, мы приходим к выводу, что проводник с индуктивностью L, по которому течет ток силы I, обладает энергией

которая локализована в возбуждаемом током магнитном поле (ср. эту формулу с выражением для энергии заряженного конденсатора; см. (29.2)).

Рис. 67.1.

Выражение (67.3) можно трактовать как работу, которую необходимо совершить против э.д.с. самоиндукции в процессе нарастания тока от 0 до и которая идет на создание магнитного поля, обладающего энергией (67.4). Действительно, работа, совершаемая против э.д.с. самоиндукции, равиа

Проделав преобразования, подобные тем, которые привели нас к выражению (67.2), получим

что совпадает с (67.3). Работа (67.5) совершается при установлении тока за счет источника э. д. с. и идет целиком на создание магнитного поля, сцепленного с витками соленоида. Выражение (67.5) не учитывает той работы, которую источник э. д. с. затрачивает в процессе установления тока на нагревание проводников.

Выразим энергию магнитного поля (67.4) через величины, характеризующие само поле. В случае очень длинного (практически бесконечного) соленоида

(см. формулы (64.3) и (53.8)). Подставив эти значения L и в выражение (67.4) и произведя преобразования, получим

В § 50 было показано, что магнитное поле бесконечно длинного соленоида однородно и отлично от нуля только внутри соленоида. Следовательно, энергия (67.6) локализована внутри соленоида и распределена по его объему с постоянной плотностью w, которую можно найти, разделив W на V. Произведя это деление, получим

Воспользовавшись соотношением (52.14), формуле для плотности энергии магнитного поля можно придать вид

Полученные нами выражения для плотности энергии магнитного поля отличаются от выражений (30.3) для плотности энергии электрического поля лишь тем, что электрические величины в ни заменены соответствующими магнитными.

Зная плотность энергии поля в каждой точке, можно найти энергию поля, заключенную в любом объеме V. Для этого нужно вычислить интеграл

Можно показать, что в случае связанных контуров (в отсутствие ферромагнетиков) энергия поля определяется формулой

Для энергии N связанных друг с другом контуров получается аналогичное выражение

(67.11)

где -взаимная индуктивность контуров, а — индуктивность контура.