6.4. ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА СГЛАЖЕННЫХ СПЕКТРАЛЬНЫХ ОЦЕНОК

Мы уже исследовали одно важное свойство спектральной оценки, а именно ее смещение. Другое важное свойство описывается ее дисперсией. В разд. 6.3.4 было получено приближенное выражение для дисперсии в частном случае белого шума при использовании окна Бартлетта. Теперь мы обобщим этот результат на случай произвольного процесса и произвольного окна. Зная дисперсию, можно на любой частоте построить доверительный интервал для истинного спектра. В этом разделе показано, что если две частоты отстоят друг от друга достаточно далеко, то ковариация оценок на этих частотах почти равна нулю. Поэтому для таких частот доверительные интервалы можно строить независимо.

6.4.1. Ковариация сглаженных спектральных оценок

Вывод точного выражения для ковариации сглаженных оценок на двух частотах довольно сложен. Поэтому здесь мы дадим эвристический вывод результатов, а более подробное изложение будег приведено в приложении

В способе, излагаемом здесь, мы воспользуемся тем фактом (см. (5.2.6)), что любой случайный процесс со спектром можно представить в виде белого шума пропущенного через линейный фильтр. Воспользовавшись этим фактом и формулами разд. 6.3.3 для ковариаций оценок, соответствующих выборочному спектру, в случае белого шума, мы сможем вывести выражения для аналогичных ковариаций, но в случае произвольного случайного процесса. Затем уже несложно получить выражения для ковариаций сглаженных спектральных оценок.

Ковариация оценок, соответствующих выборочному спектру. Рассмотрим случайный процесс со спектром получаемый из белого шума по формуле

Согласно (6.2.16), спектр этого процесса можно записать в виде

Для конечного отрезка процесса можно приближенно записать следующим образом:

где

обозначает конечный отрезок процесса На интервале два процесса буду идентичны, за исключением некоторого участка вблизи начала интервала, при условии, что отклик на единичный импульс убывает до нуля за время, малое по сравнению с Т. Мы предположим, что этим «начальным эффектом» можно пренебречь.

В таком случае оценку, соответствующую выборочному спектру

можно приближенно записать в виде

Таким образом, оценка, соответствующая выборочному спектру, для процесса приближенно равна соответствующей оценке для белого шума, умноженной на квадрат модуля частотной характеристики фильтра. Поскольку распределена приближенно как с двумя степенями свободы при любых то из (6.4.5) следует, что величина

также распределена приближенно как с двумя степенями свободы. Теперь можно использовать результаты разд. 6.3.3 для спектральных оценок белого шума. Так как то из (6.3.16) получаем

Аналогично, так как

то из (6.3.17) следует, что

где мы пренебрегли членом, содержащим Так как то на двух разных частотах ковариация оценок, соответствующих выборочному спектру, для линейного процесса равна

Формула (6.4.9) показывает, что для любого гауссовского случайного процесса

Таким образом, мы получили обобщение результатов разд. 6.3.3, которые были получены только для белого шума. Заметим, что для больших Г выражение в квадратных скобках в (6.4.9) ведет себя подобно -функции с множителем Кроме того, ковариация в точности равна нулю, когда частоты кратны величине

Ковариация сглаженных спектральных оценок. Из (6.3.30) сглаженную спектральную оценку для процесса можно записать в виде

а, следовательно, ковариация равна

Заменяя на (6.4.9) и интегрируя получаем

при условии, что настолько велико, что члены ведут себя как -функции. Равенство (6.4.10) является окончательным результатом, но можно еще вывести полезное приближение, предположив, что изменяется плавно на ширине спектрального окна При этом предположении (6.4.10) переходит в

где

Равенство (6.4.11) показывает, что ковариация сглаженных спектральных оценок пропорциональна площади перекрытия спектральных окон с центрами в Следовательно, если спектральные окна почти не перекрываются, ковариация будет очень малой. Некоторые численные значения для ковариаций сглаженных спектральных оценок при использовании различных окон будут даны в разд. 7.2.

Дисперсия сглаженных спектральных оценок. Если то (6.4.10) сводится к

где мы пренебрегли членом малым по сравнению с Воспользовавшись теоремой Парсеваля, равенство (6.4.12) можно переписать в эквивалентном виде

Например, для окна Бартлетта из табл. 6.5 имеем

и, следовательно,

Это показывает, что дисперсию сглаженной спектральной оценки можно уменьшить, выбрав точку отсечения корреляционного окна малой. Но, как указывалось в разд. 6.3.5, при уменьшении М увеличивается смещение, искажающее теоретический спектр, так как спектральное окно при этом расширяется. В таком случае, как показывает формула (6.4.10), спектральные оценки на соседних частотах будут сильнее коррелированы из-за более полного перекрытия спектральных окон. Поэтому точный выбор М является очень важным вопросом. Этот вопрос обсуждается в гл. 7. Заметим, что поскольку то величина

равна относительному уменьшению дисперсии, вызванному сглаживанием, т. е. использованием сглаженной спектральной оценки вместо оценки, соответствующей выборочному спектру. Значения отношений (6.4.14), соответствующих спектральным окнам из табл. 6.5, приведены в третьем столбце табл. 6.6. Видно, что все они имеют вид где с — некоторая константа, зависящая от окна.

Таблица 6.6. Свойства спектральных окон

Предположим, например, что точка отсечения М равна Тогда для окна Бартлетта Следовательно, беря точку отсечения на расстоянии 10% длины записи, мы снизим дисперсию сглаженной спектральной оценки до 6,7%) от дисперсии оценки, соответствующей выборочному спектру. Соответствующие величины для окон Тьюки и Парзена равны 7,5% и 5,4% соответственно. Следовательно, при фиксированном М из трех рассматриваемых окон наименьшую дисперсию дает окно Парзена. Это объясняется тем, что, как видно из рис. 6.13, окно Парзена является более широким и плоским, чем два остальных. В результате оно приводит к большим смещениям. Поэтому сравнения окон, сделанные только с учетом дисперсии, могут ввести в заблуждение, как мы увидим позднее.